Almagesto: Libro II - Capítulo 11

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{Sobre los ángulos entre la Eclíptica y el Horizonte}

[1]

Seguidamente demostraremos como calcular, para cualquier latitud dada, los ángulos formados por la Eclíptica en el Horizonte. Esto también puede ser derivado por un procedimiento que es más sencillo que aquel para los ángulos restantes (entre la Eclíptica y los círculos de Altitud).

Ahora es obvio que los ángulos [entre la Eclíptica y el] Meridiano son los mismos como aquellos [entre la Eclíptica y el] horizonte en la Esfera Recta. Sin embargo, en orden de calcular esos ángulos también en la Esfera Oblicua, debemos primero probar que los puntos sobre la Eclíptica equidistan del mismo Equinoccio creando ángulos iguales en el mismo horizonte.

[Ver Fig. 2.14.] Sea ABGD un círculo meridiano, AEG el semicírculo del Ecuador y BED el semicírculo del Horizonte. Dibujar dos segmentos de la eclíptica, ZHΘ y KLM, tal que los puntos Z y K representan ambos el Equinoccio de otoño, y el arco ZH es igual al arco KL.

Fig. 2.14
Fig. 2.14

Digo que

^ EHΘ = ^ DLK.

[Demostración:] Esto es inmediatamente obvio.

Para el ∆ esférico EZH ≡ ∆ esférico EKL,

dado que, desde lo que fue probado arriba, los lados correspondientes son iguales:

ZH = KL
HE = EL ([arcos cortados por] la intersección del Horizonte [con la Eclíptica])
EZ = EK (arcos de tiempos de salida) [2].
Por lo tanto ^ EHZ = ^ ELK
en consecuencia ^ EHΘ = ^ DLK (suplementarios).

Lo que se ha requerido para examinar.

Y también digo que, si dos puntos [de la Eclíptica] están diametralmente opuestos, la suma de los ángulos [entre la Eclíptica y el Horizonte] en el punto de salida de uno y el punto de puesta del otro, es igual a dos ángulos rectos.

[Demostración: ver Fig. 2.15.] Si dibujamos ABGD como el círculo del horizonte, y AEGZ como el círculo de la Eclíptica, de modo que se intersecan en A y en G, entonces

Fig. 2.15
Fig. 2.15

^ ZAD + ^ DAE = 2 ^ rectos.
Pero ^ ZAD = ^ ZGD
en consecuencia ^ ZGD + ^ DAE = 2 ^ rectos.

Lo que se ha requerido para examinar.

Dado que esto es así, y ya que también hemos probado que los ángulos en el mismo horizonte formados por puntos [sobre la Eclíptica] equidistantes desde el mismo Equinoccio son iguales, una consecuencia posterior será que, para los puntos equidistantes desde el mismo Solsticio, la suma del ángulo en la salida en uno y el ángulo en la puesta en el otro será igual a dos ángulos rectos [3].

Por lo tanto, si hallamos los ángulos en las salidas desde [el signo de] Aries hasta Libra [inclusive], habremos encontrado simultáneamente los ángulos de salidas sobre el otro semicírculo y los ángulos en las puestas sobre ambos semicírculos. Brevemente explicaremos como hacer el cálculo, nuevamente tomando como ejemplo el mismo paralelo, en donde la elevación del polo Norte desde el horizonte es de 36º (Rodas).

En cuanto a los ángulos entre la Eclíptica y el Horizonte en los puntos Equinocciales, pueden ser calculados [de manera] sencilla. [Ver Fig. 2.16] Si dibujamos ABGD como el círculo Meridiano, AED como el semicírculo Oriental del Horizonte en cuestión, EZ como un cuadrante del Ecuador, y EB y EG como dos cuadrantes de la Eclíptica tal que el punto E es el Equinoccio de otoño con respecto a EB, y el Equinoccio de primavera con respecto a EG (por lo tanto B es el Solsticio de invierno y G el Solsticio de verano), podemos concluir del siguiente modo.

Fig. E
Fig. E
Fig. 2.16
Fig. 2.16

Ex Hypothesi, arco DZ = 54º [colatitud de 36º]
y arco BZ = arco ZG ≈ 23;51º.
En consecuencia arco GD = 30;9º y arco BD = 77;51º.

Por lo tanto, E es el polo del Meridiano ABG.

^ DEG, el ángulo en el principio de Aries, es de 30;9º (*)
y ^ DEB, el ángulo en el comienzo de Libra, es de 77;51º (*)
(*) donde 1 ángulo recto = 90º.

En orden de explicar el procedimiento para hallar los ángulos en otros puntos, tomemos, por ejemplo, el problema de encontrar el ángulo en la salida formado en el comienzo de Taurus y el Horizonte.

Fig. 2.17
Fig. 2.17

[Ver Fig. 2.17] Sea ABGD el círculo del Meridiano, BED el semicírculo Oriental del Horizonte en cuestión. Dibujar el semicírculo AEG de la Eclíptica, entonces aquel punto E representa el comienzo de Taurus. Ahora, en esta latitud, cuando el comienzo de Taurus está saliendo, los Cancer 17;41º están en la culminación inferior (hemos demostrado [aquí] como tal problema puede resolverse fácilmente por medio de los Tiempos de Salida tabulados) [4]. Por lo tanto el arco EG es menor que un cuadrante. Entonces con el polo E y el radio del cuadrado [inscripto] dibujamos el segmento ΘHZ del gran círculo, y completamos los cuadrantes EGH y EDΘ. Ambos DGZ y ZHΘ son también cuadrantes, porque el Horizonte BEΘ va a través de los polos del Meridiano ZGD y del gran círculo ZHΘ. Además, los Cancer 17;41º están 22;40º al Norte del Ecuador, medidos a lo largo del gran círculo a través de los polos del Ecuador (también hemos establecido una tabla Libro I Capítulo 15 para ello); y el Ecuador está a 36º desde el polo Z del Horizonte, medidos a lo largo del mismo arco, ZGD. Por lo tanto el arco ZG = 58;40º. Estando dadas éstas cantidades, entonces se deduce desde la figura que

Cuerda arco 2 * GD / cuerda arco 2 * DZ = (cuerda arco 2 * GE / cuerda arco 2 * EH) * (cuerda arco 2 * HΘ / cuerda arco 2 * ZΘ). [M.T.I.] Configuración de Menelao.

Pero, [según] lo de arriba,

arco 2 * GD = 62;40º, entonces Cuerda arco 2 * GD = 62;24p,
arco 2 * DZ = 180º, entonces Cuerda arco 2 * DZ = 120p,
arco 2 * GE = 155;22º, entonces Cuerda arco 2 * GE = 117;14p,
arco 2 * EH = 180º, entonces Cuerda arco 2 * EH = 120p.

Por lo tanto

Cuerda arco 2 * ΘH / cuerda arco 2 * ZΘ = (62;24 / 120) / (117;14 / 120) = 63;52 / 120.

y Cuerda arco 2 * ΘZ = 120p.
Por lo tanto Cuerda arco 2 * HΘ = 63;52p
en consecuencia arco 2 * HΘ = 64;20º
y arco HΘ = ^ HEΘ = 32;10º.

Lo que se ha requerido para examinar.

Para evitar el alargamiento de la parte explicativa de este tratado por una contínua repetición del procedimiento, tomaremos por sentado el mismo método para los signos y latitudes restantes [5].

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Notas de referencia

  1. “Eclíptica”: literalmente “el mismo círculo inclinado”.
  2. Por hipótesis ZH = KL, HE = EL desde el Libro II Capítulo 03 Fig. 2.2.; EZ = EK desde Libro II Capítulo 07 Fig. 2.4..
  3. Demostración: ver Fig. E, en donde la Eclíptica EXT intersecta el Horizonte SR en el punto de la puesta S y en el punto de salida R. T es el solsticio, E el Equinoccio (por lo tanto ET = 90º) y los dos puntos X y R están a la misma distancia, d, desde T. Luego EX = TE – TX = 90º - d. ES = RS – RE = 180º - (90º + d) = 90º - d. En consecuencia EX = ES. Por lo tanto el ángulo en la puesta en X es igual al ángulo en la puesta en S (Fig. 2.14). Pero la suma de los ángulos en el punto de la salida R con el punto de la puesta S es [igual] a 2 ángulos rectos (Fig. 2.15). Por lo tanto la suma del ángulo en la salida en R con el ángulo en la puesta en X es igual a 2 ángulos rectos.
  4. Libro II Capítulo 09 (simplemente sumar 180º al punto de la culminación superior, que para este ejemplo está calculado en HAMA, 42).
  5. Los ángulos entre la Eclíptica y el Horizonte no están tabulados explícitamente por Ptolomeo, aunque pueden ser derivados de los ángulos entre la Eclíptica y el círculo de Altitud en el punto de salida tabulado en la Tabla en el Libro II Capítulo 13. Ver HAMA, 47, que explícitamente también los tabula.