Almagesto: Libro II - Capítulo 07

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{Sobre las salidas simultáneas de los arcos de la Eclíptica y del Ecuador en la Esfera Oblicua}

[1]

Después de haber establecido las características generales que teóricamente pueden ser deducidas para [varias] latitudes, nuestra próxima tarea es demostrar como calcular, para cada latitud, los arcos del Ecuador, medidos en grados de tiempo, los cuales salen conjuntamente con los arcos [dados] de la Eclíptica. Desde esto sistemáticamente derivaremos todas las otras características especiales [de la clímata]. Utilizaremos los nombres de los signos del Zodíaco para las doce divisiones [de 30º] de la Eclíptica, acorde al sistema en el cual las divisiones comienzan en los puntos Equinocciales y Solsticiales [2]. Comenzando en el Equinoccio de primavera [Hemisferio Norte] y recorriendo hacia atrás [Hacia el Este] con respecto al movimiento del Universo, llamamos “Aries” la primera división, la segunda “Taurus”, y así sucesivamente para el resto, en el tradicional orden de los 12 signos.

Probaremos primero que los arcos de la Eclíptica, que son equidistantes desde el mismo Equinoccio, siempre salen con arcos iguales del Ecuador.

[Ver Fig. 2.4] Sea ABGD un meridiano, BED el semicírculo del horizonte, AEG el semicírculo del Ecuador, y ZH y ΘK los dos arcos de la Eclíptica tal que los puntos Z y Θ son cada uno supuestos ser como el Equinoccio de primavera, y arcos iguales han sido cortados sobre los lados opuestos [de ese Equinoccio]: esos son los arcos ZH y ΘK, que están saliendo en los puntos K y H [respectivamente]. Digo, que los arcos del Ecuador que salen [a la vez] con ellos son iguales, a saber [los arcos] como ZE y ΘE respectivamente.

[Demostración:] Sean los puntos L y M que representan los polos del Ecuador, y dibujar a través de ellos los arcos del gran círculo LEM, LΘ, LK, ZM y MH.

Fig. 2.4
Fig. 2.4

Luego, dado que:

arco ZH = arco ΘK,
y arco LK = arco MH (*)
y arco EK = arco EH (*)

(*) Dado que los paralelos a través de K y H son equidistantes desde el Ecuador sobre los lados opuestos [3],

[∆ esférico] LKΘ ≡ [∆ esférico] MHZ
y [∆ esférico] LEK ≡ [∆ esférico] MEH.
en consecuencia ^ KLE = ^ HME,
y ^ KLΘ = ^ HMZ.

Por lo tanto, por sustracción, ^ ELΘ = ^ EMZ.

en consecuencia EΘ = EZ, bases [de ∆ congruentes ELΘ, EMZ]

Lo que se ha requerido para examinar.

Nuevamente, probaremos que si dos arcos de la Eclíptica son iguales y son equidistantes desde el mismo Solsticio, la suma de los dos arcos del Ecuador que sale con ellos es igual a la suma de los Tiempos de Salida [de los mismos dos arcos de la Eclíptica] en la Esfera Recta.

[Ver Fig. 2.5.] Sea ABGD un meridiano, y sea BED un semicírculo representando el Horizonte, y sea el Ecuador el semicírculo AEG. Dibujar dos arcos de la Eclíptica, iguales y equidistantes desde el Solsticio de invierno, ZH (donde Z es tomado como el Equinoccio de otoño) y ΘH (donde Θ es tomado como el equinoccio de primavera).

Fig. 2.5
Fig. 2.5

De este modo H es el punto sobre el horizonte que es común a la salida de ambos, dado que los arcos ZH y ΘH están ambos limitados por el mismo círculo paralelo al Ecuador. Por lo tanto, obviamente, el arco ΘE sale con el arco ΘH, y el arco EZ con el arco ZH. Luego es inmediatamente es obvio que la totalidad del arco ΘEZ es igual a la suma de los tiempos de salida del arco ZH y del arco ΘH en la esfera recta.

[Demostración:] Si tomamos K como el polo Sur del Ecuador, y lo dibujamos a través de él y por H el cuadrante del gran círculo KHL, que representa el Horizonte en la Esfera Recta, entonces ΘL es el arco que sale con el arco ΘH en la Esfera Recta, y similarmente LZ es el arco que sale con el arco ZH. Por lo tanto la suma de los arcos (ΘL + LZ) es igual a la suma de los arcos (ΘE + EZ), y ambos están comprendidos en el arco ΘZ.

Lo que se ha requerido para examinar.

De lo anterior hemos demostrado, que si podemos calcular los tiempos individuales de salida en cualquier latitud justamente para un solo cuadrante, simultáneamente hemos bien resuelto el problema de los tres cuadrantes restantes.

Siendo este el caso, permitámonos nuevamente tomar como paradigma el paralelo a través de Rodas, donde el día más largo es de 14 ½ horas Equinocciales, y la elevación [altura] del polo Norte desde el horizonte de 36º.

[Ver Fig. 2.6] Sea ABGD un meridiano, BED el semicírculo del Horizonte, AEG el semicírculo del Ecuador, y ZHΘ el semicírculo de la Eclíptica, ubicado de modo que H representa el Equinoccio de primavera. Tomar K como el polo Norte del Ecuador, y dibujar a través de K y L, que es la intersección de la Eclíptica [con] el Horizonte, el cuadrante KLM del gran círculo.

Fig. 2.6
Fig. 2.6

Sea el problema, dado el arco HL, hallar el arco del Ecuador que sale con él, este es el arco EH.

Sea primero el arco HL, que comprende el signo de Aries.

Luego, en el diagrama, dado que los dos arcos ED y KM de grandes círculos son dibujados hasta encontrar los dos arcos EG y GK de grandes círculos, e intersecándose uno con el otro en L,

Cuerda arco 2 * KD / cuerda arco 2 * DG = (cuerda arco 2 * KL / cuerda arco 2 * LM) * (Cuerda arco 2 * ME / cuerda arco 2 * EG). [M.T.II] Configuración de Menelao

Pero arco 2 * KD = 72º, entonces Cuerda arco 2 * KD = 70;32,4p [4];
arco 2 * GD = 108º, entonces Cuerda arco 2 * GD = 97;4,56p.
Y arco 2 * KL = 156;40,1º [5], entonces Cuerda arco 2 * KL = 117;31,15p;
arco 2 * LM = 23;19,59º, entonces Cuerda arco 2 * LM = 24;15,57p.

Por lo tanto

Cuerda arco 2 * ME / Cuerda arco 2 * EG = (70;32,4 / 97;4,56) / (117;31,15 / 24;15,57)
= 18;0,5 / 120.
Y Cuerda arco 2 * EG = 120p.
en consecuencia Cuerda arco 2 * ME = 18;0,5p.
por lo tanto arco 2 * ME ≈ 17;16º
y arco ME = 8;38º

Y dado que la totalidad del arco HM sale con la totalidad del arco HL en la Esfera Recta, es de 27;50º, tal como fue demostrado arriba, (en el Libro I Capítulo 16).

Por lo tanto, por sustracción, EH es de 19;12º.

Simultáneamente hemos probado que el signo de Pisces sale al mismo tiempo (en grados) con 19;12º, y que cada uno de los signos de Virgo y de Libra salen con 36;28º, que es el resto [de los 19;12º tomados] del doble del tiempo de salida en la Esfera Recta.

Lo que se ha requerido para examinar.

Segundo, sea el arco HL que comprende 60º de los dos signos de Aries y de Taurus. Entonces, desde nuestras consideraciones, las otras cantidades seguirán siendo las mismas,

pero arco 2 * KL = 138;59,42º, entonces Cuerda arco 2 * KL = 112;23,56p,
y arco 2 * LM = 41;0,18º [6], entonces Cuerda arco 2 * LM = 42;1,48p.

Por lo tanto

Cuerda arco 2 * ME / Cuerda arco 2 * EG = (70;32,4 / 97;4,56) / (112;23,56 / 42;1,28),
= 32;36,4 / 120.
Y Cuerda arco 2 * EG = 120p.
Por lo tanto Cuerda arco 2 * ME = 32;36,4p.
En consecuencia arco 2 * ME ≈ 31;32º,
y arco ME ≈ 15;46º.

Pero la totalidad el arco MH [7] fue previamente demostrado ser de 57;44º (Libro I Capítulo 16).

Por lo tanto, por sustracción, el arco HE = 41;58º.

En consecuencia los signos combinados de Aries y Taurus salen en 41;58 grados de tiempo, de los cuales 19;12º fueron demostrados pertenecer al tiempo de salida de Aries. Por lo tanto el signo de Tauro propiamente dicho, sale con 22;46 grados de tiempo.

Por medio del mismo razonamiento como el de antes, el signo de Aquarius saldrá con el mismo tiempo de 22;46º, y cada uno de los signos de Leo y de Scorpius [saldrán] en 37;2º, que es el resto [de los 22;46º tomados] del doble del tiempo de salida en la Esfera Recta.

Ahora dado que el día más largo es de 14 ½ horas Equinocciales, y el más corto de 9 ½ horas Equinocciales, es obvio que el semicírculo [de la Eclíptica] desde Cancer hasta Sagittarius saldrá con 217;30º del Ecuador, y el semicírculo de Capricornio hasta Gemini con 142;30º. Por lo tanto cada uno de los cuadrantes, tanto a un lado como en el otro del Equinoccio de primavera saldrán con 71;15 grados de tiempo, y cada uno de los cuadrantes tanto a un lado como en el otro del Equinoccio de otoño saldrán en 108;45 grados de tiempo. Por lo tanto los signos restantes [de cada cuadrante], Gemini y Capricornio, saldrán cada uno en 29;17 grados de tiempo, que es la diferencia [de 19;12º + 22;46º] con los 71;15º con los que sale el cuadrante, y los signos restantes de Cancer y Sagittarius saldrán cada uno en 35;15 grados de tiempo, que es la diferencia [de 36;28º + 37;2º] con los 108;45º con los que sale este cuadrante.

También es obvio que podemos calcular los tiempos de salida de los arcos más pequeños de la eclíptica [respecto de los signos en su totalidad] exactamente por el mismo método. Pero también del siguiente modo podemos calcularlos por [medio de] otro procedimiento más fácil y práctico.

[Ver Fig. 2.7] Primero sea ABGD que representa un meridiano, BED el semicírculo del horizonte, AEG el semicírculo del Ecuador, y ZEH el semicírculo de la Eclíptica, con la intersección E tomada como el Equinoccio de primavera. Cortar un arco arbitrario EΘ sobre [la Eclíptica], y dibujar el segmento ΘK del paralelo al Ecuador a través de Θ. Tomando L como el polo [Sur] del Ecuador, dibujar a través de él los cuadrantes LΘM, LKN y LE de grandes círculos.

Fig. 2.7
Fig. 2.7

Luego es inmediatamente obvio que el segmento EΘ de la Eclíptica sale con el arco EM del Ecuador en la Esfera Recta, y con NM en la Esfera Oblicua, dado que el arco KΘ del círculo paralelo, con el cual sale el segmento EΘ [en la Esfera Oblicua], es similar al arco NM del Ecuador y similar a los arcos de los círculos paralelos saliendo en los mismos instantes en todas partes. Por lo tanto el arco EN es la diferencia entre los tiempos de salida del segmento EΘ en la Esfera Oblicua y en la Esfera Recta. En consecuencia hemos demostrado que, para los arcos de la Eclíptica limitados por el punto E y el círculo paralelo a través de K, en cada caso, si es dibujado el arco del gran círculo correspondiente a LKN, el segmento EN comprenderá la diferencia entre los tiempos de salida de ese arco en la Esferas Recta y en las Esferas Oblicua. [8].

Lo que se ha requerido para examinar.

Habiendo establecido esto como un tema preliminar, dibujemos [ver Fig. 2.8] un diagrama conteniendo solamente el meridiano y los semicírculos del Horizonte [BED] y del Ecuador [AEG]; a través de Z, el polo Sur del Ecuador, dibujemos los dos cuadrantes ZHΘ y ZKL de grandes círculos. Tomemos H como la intersección del horizonte con el círculo paralelo a través del Solsticio de invierno, y K como la intersección [del horizonte] con el círculo paralelo a través, por ej., del comienzo de Pisces, o de cualquier otro punto dado en el cuadrante [desde el comienzo de Capricornus hasta el final de Pisces].

Fig. 2.8
Fig. 2.8

Entonces, nuevamente, los arcos ZKL y EKH de grandes círculos son dibujados para encontrarse con los arcos ZΘ y EΘ de grandes círculos, y se intersecan uno con el otro en K. Por lo tanto

Cuerda arco 2 * ΘH / Cuerda arco 2 * ZH = (Cuerda arco 2 * ΘE / cuerda arco 2 * EL) * (Cuerda arco 2 * KL / cuerda arco 2 * KZ) [M.T.II] Configuración de Menelao

Pero para cada latitud es dado el arco 2 * ΘH y es el mismo, dado que este es el arco entre los Solsticios. Por lo tanto el arco 2 * HZ, su suplemento, también es dado. De igual modo para el mismo arco de la Eclíptica, el arco 2 * LK es el mismo para todas las latitudes, y está dado desde la Tabla de la Inclinación (de la Eclíptica) Libro I Capítulo 15; y desde allí nuevamente es dado su [arco] suplementario, el arco 2 * KZ.

Por lo tanto, por la división [de los miembros de arriba], (Cuerda arco 2 * ΘE / Cuerda arco 2 * EL) es hallado ser el mismo para las todas las latitudes (para el mismo arco de ese cuadrante [de la Eclíptica]).

Puesto que esto es así, tomamos los diferentes valores del arco KL cada 10º [de la Eclíptica] a través del cuadrante desde el Equinoccio de primavera hasta el Solsticio de invierno (dado que la subdivisión menor de los arcos de este tamaño [de 10º] será suficiente para [nuestros] propósitos prácticos).

Luego en cada caso

arco 2 * ΘH = 47;42,40º, y Cuerda arco 2 * ΘH = 48;31,55p,
arco 2 * HZ = 132;17,20º, y Cuerda arco 2 * HZ = 109;44,53p.

Entonces, para 10º [de la Eclíptica] desde el Equinoccio de primavera hasta el Solsticio de invierno,

arco 2 * KL = 8;3,16º, y Cuerda arco 2 * KL = 8;25,39p,
arco 2 * KZ = 171;56,44º, y Cuerda arco 2 * KZ = 119;42,14p.

Para el arco de 20º desde el Equinoccio

arco 2 * KL = 15;54,6º, Cuerda arco 2 * KL = 16;35,56p,
arco 2 * KZ = 164;5,54º, Cuerda arco 2 * KZ = 118;50,47p.

Para el arco de 30º desde el Equinoccio

arco 2 * LK = 23;19,58º, Cuerda arco 2 * LK = 24;15,56p,
arco 2 * KZ = 156;40,2º, Cuerda arco 2 * KZ = 117;31,15p.

Para el arco de 40º desde el Equinoccio

arco 2 * LK = 30;8,8º, Cuerda arco 2 * LK = 31;11,43p,
arco 2 * KZ = 149;51,52º, Cuerda arco 2 * KZ = 115;52,19p.

Para el arco de 50º desde el Equinoccio

arco 2 * LK = 36;5,46º, Cuerda arco 2 * LK = 37;10,39p,
arco 2 * KZ = 143;54,14º, Cuerda arco 2 * KZ = 114;5,44p.

Para el arco 60º desde el Equinoccio

arco 2 * LK = 41;0,18º, Cuerda arco 2 * LK = 42;1,48p,
arco 2 * KZ = 138;59,42º, Cuerda arco 2 * KZ = 112;23,57p.

Para el arco 70º desde el Equinoccio

arco 2 * LK = 44;40,22º, Cuerda arco 2 * LK = 45;36,18p,
arco 2 * KZ = 135;19,38º, Cuerda arco 2 * KZ = 110;59,47p.

Para el arco 80º desde el Equinoccio

arco 2 * LK = 46;56,32º, Cuerda arco 2 * LK = 47;47,40p,
arco 2 * KZ = 133;3,28º, Cuerda arco 2 * KZ = 110;4,16p.

[Según] lo de arriba hallamos que si dividimos la proporción (Cuerda arco 2 * ΘH / Cuerda arco 2 * HZ), a saber (48;31,55 / 109;44,53), por la proporción (Cuerda arco 2 * LK / Cuerda arco 2 * KZ), tal como lo dado anteriormente, en cada uno de los intervalos de 10°, obtendremos la proporción (Cuerda arco 2 * ΘE / Cuerda arco 2 * EL), siendo la misma para todas las latitudes.

Para el arco 10º esta es 60 / 9;33
Para el arco 20º esta es 60 / 18;57
Para el arco 30º esta es 60 / 28;1
Para el arco 40º esta es 60 / 36;33 [9]
Para el arco 50º esta es 60 / 44;12
Para el arco 60º esta es 60 / 50;44
Para el arco 70º esta es 60 / 55;45
y para el arco 80º esta es 60 / 58;55.

Inmediatamente es obvio que para cada latitud tendremos como arco dado el arco 2 * ΘE, dado que este es, en grados, la diferencia en grados de tiempo del día Equinoccial desde el día más corto.

Por lo tanto, de la cuerda arco 2 * ΘE
y la proporción (Cuerda arco 2 * ΘE / Cuerda arco 2 * EL),
la Cuerda arco 2 * EL será dada, y [en consecuencia] el arco 2 * EL.

Sustraeremos la mitad de esto, a saber el arco EL, que comprende la diferencia arriba mencionada [entre los tiempos de salida en la Esfera Recta y en la Esfera Oblicua], desde el tiempo de salida del arco de la Eclíptica en la Esfera Recta en cuestión, y por lo tanto obtendremos el tiempo de salida del mismo arco en la latitud dada.

Como un ejemplo, tomemos nuevamente la latitud del paralelo a través de Rodas.

Aquí

arco 2 * EΘ = 37;30º, entonces Cuerda arco 2 * EΘ ≈ 38;34p.
Luego dado que 60 / 38;34 = 9;33 / 6;8
= 18;57 / 12;11
= 28;1 / 18;0
= 36;33 / 23;29 [10]
= 44;12 / 28;25
= 50;44 / 32;37
= 55;45 / 35;52 [11]
= 58;55 / 37;52,

Y la Cuerda arco 2 * EL es igual a la cantidad de arriba [6;8p, etc.] en cada uno de los intervalos de 10º anteriormente mencionados, y la mitad del arco [que] éste subtiende, a saber el arco EL, asumirá los valores siguientes:

Para los primeros 10º 2;56º
Hasta el fin del segundo 5;50º
Hasta el fin del tercero 8;38º
Hasta el fin del cuarto 11;17º
Hasta el fin del quinto 13;42º
Hasta el fin del sexto 15;46º
Hasta el fin del séptimo 17;24º
Hasta el fin del octavo 18;24º
Hasta el fin del noveno, obviamente, 18;45º.

Dado que los correspondientes tiempos de salida en la Esfera Recta, son los siguientes:

Para los primeros 10º 9;10º
Hasta el fin del segundo 18;25º
Hasta el fin del tercero 27;50º
Hasta el fin del cuarto 37;30º
Hasta el fin del quinto 47;28º
Hasta el fin del sexto 57;44º
Hasta el fin del séptimo 68;18º
Hasta el fin del octavo 79;5º
Hasta el fin del noveno 90º (*)

(*) (los grados de tiempo del cuadrante en su totalidad), es claro que por sustracción la diferencia, dada por el arco EL, desde el correspondiente tiempo de salida en la Esfera Recta en cada caso, obtenemos los tiempos de salida de los mismos arcos en la latitud en cuestión.

Estos son

Para los primeros 10º 6;14º
Hasta el fin del segundo 12;35º
Hasta el fin del tercero 19;12º
Hasta el fin del cuarto 26;13º
Hasta el fin del quinto 33;46º
Hasta el fin del sexto 41;58º
Hasta el fin del séptimo 50;54º
Hasta el fin del octavo 60;41º
Hasta el fin del noveno 71;15º. (*)

(*) (Por ej. para el cuadrante en su totalidad), (que corresponde a la longitud de la mitad del día [más corto]).

Los segmentos de diez grados saldrán en los siguientes grados de tiempo:

1 ros. 6;14º
2 dos. 6;21º
3 ros. 6;37º
4 tos. 7;1º
5 tos. 7;33º
6 tos. 8;12º
7 mos. 8;56º
8 vos. 9;47º
9 nos. 10;34º

Una vez que hemos establecido lo anteriormente [descrito], los correspondientes tiempos de salida de los cuadrantes restantes inmediatamente serán establecidos sobre la misma base, por medio de los teoremas expuestos arriba.

Por el mismo camino calculamos los tiempos de salida cada 10º para todos los otros paralelos que uno podría determinar sobre la práctica actual. Para usos futuros los asignaremos en unas tablas, comenzando con el paralelo directamente por debajo del Ecuador, e ir tan lejos como con el paralelo con su día más largo de 17 horas. Los paralelos son tomados a intervalos de ½ hora [del día más largo], dado que la diferencia [de los cálculos exactos] desde los resultados derivados por interpolación lineal [entre intervalos de media hora] es insignificante. De la siguiente manera, pondremos en la primera columna los 36 intervalos de 10 grados del círculo, en la siguiente los correspondientes grados de tiempo de los tiempos de salida de ese arco de 10º en la latitud en cuestión, y en la tercera [columna], la suma acumulada:

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Notas de referencia

  1. Ver HAMA 34-7, Pedersen 110-13.
  2. Por ej. el Equinoccio de primavera define 'Aries 0º', etc. Esta especificación fue necesaria porque otras normas existieron en la antigüedad, notablemente aquellas donde el Equinoccio de primavera estaba en Aries 8º y Aries 10º (derivados de la práctica Babilónica). Ver HAMA II 594-8.
  3. Cf. Libro II Capítulo 3 (Fig. 2.2).
  4. Aquí (H122,4) y en H122,10 y H123,13 los manuscritos según la tradición griega y la árabe dan 70;32,4p para la cuerda de 72º, mientras que en la Tabla de las Cuerdas esta es de 70;32,3p (hallada sólo en el manuscrito Ger). ¿Es ésta una prueba de que hubo una más temprana versión de la Tabla de las Cuerdas? Cf. Libro II Capítulo 5 nota de referencia nro. 3.
  5. Leer segmento  segmento μ segmento α (en el manuscrito B y Is) en cambio de segmento  segmento  (156;41) en H122,7. Corregido por Manitius.
  6. Leer segmento  o segmento  (en el manuscrito Ar y en las variantes del manuscrito Griego) en cambio de segmento  segmento θ segmento  (41;9,18) en H123,11. Corregido por Manitius.
  7. Corrigiendo el error de impresión 'ME' en H123,21, con Manitius.
  8. Este arco EN es conocido en la astronomía medieval como la 'diferencia ascencional'. Ver HAMA 36 y 980-2, y Neugebauer-Schmidt.
  9. Calculado desde las figuras de Ptolomeo: 36;31,42. Para el arco de arriba de 40º, un valor más preciso para la cuerda arco 2 * KZ podría ser 115;52,26p. Sin embargo aquí, sustituyendo esto deriva a 36;31,40. Tanto en un caso como en el otro, 36;32 podría ser el resultado correcto al minuto más próximo. Esta es la lectura del manuscrito de Gerardo de Cremona (Ger), aunque el resto de la tradición está [de acuerdo] con 36;33.
  10. Cálculos precisos con 36;33 dan aquí 23;29,36, mientras [que con] 36;32 (ver nota de referencia anterior) dan 23;28,58. Se piensa en favor de la lectura 36;32, pero no decicivamente.
  11. Calculado: 35;50,6. Sin embargo 35;52 está garantizado por los 17;24 para el séptimo arco de 10° de abajo (35;50 deriva a 17;23º).