Almagesto: Libro II - Capítulo 07

De Wikisource, la biblioteca libre.
Saltar a: navegación, buscar
Capítulo Anterior Contenidos Capítulo Siguiente

{Sobre las salidas simultáneas de los arcos de la Eclíptica y del Ecuador en la Esfera Oblicua}[editar]

[1]

Después de haber establecido las características generales que teóricamente se pueden deducir desde [varias] latitudes, nuestra próxima tarea es demostrar cómo calcular, para cada latitud, los arcos del Ecuador, medidos en grados de tiempo, los cuales salen conjuntamente con los arcos [dados] de la Eclíptica. Desde esto sistemáticamente derivaremos todas las otras características especiales [de la Clímata]. Usaremos los nombres de los signos del Zodíaco para las doce divisiones [de 30º] de la Eclíptica, acorde al sistema donde las divisiones comienzan en los puntos Equinocciales y Solsticiales [2]. Llamamos “Aries” la primera división, comenzando en el Equinoccio de primavera [Hemisferio Norte] y recorriendo hacia atrás [Hacia el Este] con respecto al movimiento del Universo, la segunda “Taurus”, y así sucesivamente para el resto, en el tradicional orden de los 12 signos.

Probaremos primero que los arcos de la Eclíptica, que son equidistantes desde el mismo Equinoccio, siempre salen con arcos iguales del Ecuador.

[Ver Fig. 2.4] Sea ABGD un meridiano, BED el semicírculo del horizonte, AEG el semicírculo del Ecuador, y ZH y ΘK los dos arcos de la Eclíptica tales que los puntos Z y Θ son cada uno supuestos como el Equinoccio de primavera, y los arcos iguales han sido cortados en los lados [de éste Equinoccio]: estos son los arcos ZH y ΘK, que están saliendo en los puntos K y H [respectivamente]. Digo, que los arcos del Ecuador que salen [a la vez] con ellos son iguales, a saber [los arcos] como ZE y ΘE respectivamente.

[Demostración:] Sean los puntos L y M que representan los polos del Ecuador, y dibujar a través de ellos los arcos del gran círculo LEM, LΘ, LK, ZM y MH.

Fig. 2.4
Fig. 2.4

Entonces, ya que:

Arco ZH = arco ΘK,
y Arco LK = arco MH (*)
y Arco EK = arco EH (*)

(*) Dado que los paralelos a través de K y H son equidistantes desde el Ecuador sobre los lados opuestos [3],

[∆ esférico] LKΘ≡ [∆ esférico] MHZ
y [∆ esférico] LEK ≡ [∆ esférico] MEH.
en consecuencia ^ KLE = ^ HME,
y ^ KLΘ = ^ HMZ.

Por lo tanto, por sustracción,

^ ELΘ = ^ EMZ.
en consecuencia EΘ = EZ,
bases [de ∆ congruentes ELΘ, EMZ]

Lo que se ha requerido para examinar.

Nuevamente, probaremos que si dos arcos de la Eclíptica son iguales y son equidistantes desde el mismo Solsticio, la suma de los dos arcos del Ecuador que sale con ellos es igual a la suma de los Tiempos de Salida [de los dos mismos arcos de la Eclíptica] en la Esfera Recta.

[Ver Fig. 2.5.] Sea ABGD un meridiano, y sea BED un semicírculo representando el Horizonte, y sea el Ecuador el semicírculo AEG. Dibujar dos arcos de la Eclíptica, iguales y equidistantes desde el Solsticio de invierno, ZH (donde Z es tomado como el Equinoccio de otoño) y ΘH (donde Θ es tomado como el equinoccio de primavera).

Fig. 2.5
Fig. 2.5

Por lo tanto H es el punto sobre el horizonte que es común a la salida de ambos, ya que los arcos ZH y ΘH están ambos limitados por el mismo círculo paralelo al Ecuador. Por lo tanto, obviamente, el arco ΘE sale con el arco ΘH, y el arco EZ con el arco ZH. Luego, es inmediatamente es obvio que la totalidad del arco ΘEZ es igual a la suma de los tiempos de salida del arco ZH y del arco ΘH en la esfera recta.

[Demostración:] Si tomamos K como el polo Sur del Ecuador, y lo dibujamos a través de él y H el cuadrante del gran círculo KHL, que representa el Horizonte en la Esfera Recta, entonces ΘL es el arco que sale con el arco ΘH en la Esfera Recta, y similarmente LZ es el arco que sale con el arco ZH. Por lo tanto la suma de los arcos (ΘL + LZ) es igual a la suma de los arcos (ΘE + EZ), y ambos están comprendidos en el arco ΘZ.

Lo que se ha requerido para examinar.

[Según] lo anterior, hemos demostrado que si podemos calcular los tiempos individuales de salida en alguna latitud justamente para un solo cuadrante, simultáneamente tendremos bien resuelto el problema de los tres cuadrantes restantes.

Siendo éste el caso, permitámonos nuevamente como paradigma tomar el paralelo a través de Rodas, donde el día más largo es de 14 ½ horas Equinocciales, y la elevación [altura] del polo Norte desde el horizonte de 36º.

[Ver Fig. 2.6] Sea ABGD un meridiano, BED el semicírculo del Horizonte, AEG el semicírculo del Ecuador, y ZHΘ el semicírculo de la Eclíptica, ubicado de modo que H representa el Equinoccio de primavera. Tomar K como el polo Norte del Ecuador, y dibujar a través de K y L, que es la intersección de la Eclíptica [con] el Horizonte, el cuadrante del gran círculo KLM.

Fig. 2.6
Fig. 2.6

Sea el problema, dado el arco HL, de hallar el arco del Ecuador que sale con él, [siendo] éste el arco EH.

Sea primero el arco HL, que comprende el signo de Aries.

Luego en el diagrama, dado que los dos arcos de grandes círculos ED y KM son dibujados hasta intersectarse con los dos arcos de grandes círculos EG y GK, [éstos últimos] intersectándose uno con el otro en L,

Cuerda arco 2 * KD / cuerda arco 2 * DG = (cuerda arco 2 * KL / cuerda arco 2 * LM) * (Cuerda arco 2 * ME / cuerda arco 2 * EG). [M.T.II]

pero Arco 2 * KD = 72º,
entonces Cuerda arco 2 * KD = 70;32,4p [4];
Y Arco 2 * GD = 108º,
entonces Cuerda arco 2 * GD = 97;4,56p.
Y Arco 2 * KL = 156;40,1º [5],
entonces Cuerda arco 2 * KL = 117;31,15p;
Arco 2 * LM = 23;19,59º,
entonces Cuerda arco 2 * LM = 24;15,57p.

en consecuencia

Cuerda arco 2 * ME / Cuerda arco 2 * EG
= (70;32,4 / 97;4,56) / (117;31,15 / 24;15,57)
= 18;0,5 / 120.
Y Cuerda arco 2 * EG = 120p.
en consecuencia Cuerda arco 2 * ME = 18;0,5p.
en consecuencia Arco 2 * ME ≈ 17;16º
Y Arco ME = 8;38º

Y dado que la totalidad del arco HM sale con la totalidad del arco HL en la Esfera Recta, es de 27;50º, tal como fue demostrado arriba, (en el Libro I Capítulo 16).

Por lo tanto, por sustracción, EH es de 19;12º.

Simultáneamente hemos probado que el signo de Pisces sale al mismo tiempo (en grados) con 19;12º, y que cada uno de los signos de Virgo y de Libra salen con 36;28º, que es el resto [de los 19;12º tomados] del doble del tiempo de salida en la Esfera Recta.

Lo que se ha requerido para examinar.

Segundo, sea el arco HL que comprende 60º de los dos signos de Aries y de Taurus. Entonces, desde nuestras consideraciones, las otras cantidades serán lo restante del mismo,

pero Arco 2 * KL = 138;59,42º,
entonces Cuerda arco 2 * KL = 112;23,56p,
y Arco 2 * LM = 41;0,18º [6],
entonces Cuerda arco 2 * LM = 42;1,48p.

en consecuencia

Cuerda arco 2 * ME / Cuerda arco 2 * EG =
(70;32,4 / 97;4,56) / (112;23,56 / 42;1,28),
= 32;36,4 / 120.
Y Cuerda arco 2 * EG = 120p.
en consecuencia Cuerda arco 2 * ME = 32;36,4p.
en consecuencia Arco 2 * ME ≈ 31;32º,
y Arco ME ≈ 15;46º.

Pero el arco MH [7] fue previamente demostrado totalmente como de 57;44º (Libro I Capítulo 16).

Por lo tanto, por sustracción, el arco HE = 41;58º.

En consecuencia, los signos combinados de Aries y Taurus salen con 41;58 grados de tiempo, de los cuales 19;12º fueron demostrados pertenecer al tiempo de salida de Aries. Por lo tanto, el signo de Tauro, propiamente dicho, sale con 22;46 grados de tiempo.

Por [medio] del mismo razonamiento como el de antes, el signo de Aquarius saldrá con el mismo tiempo de 22;46º, y cada uno de los signos de Leo y de Scorpius [saldrán] con 37;2º, que es el resto [de los 22;46º tomados] del doble del tiempo de salida en la Esfera Recta.

Ahora, y dado que el día más largo es de 14 ½ horas Equinocciales, y el más corto de 9 ½ horas Equinocciales, es obvio que el semicírculo [de la Eclíptica] desde Cancer hasta Sagittarius saldrá con 217;30º del Ecuador, y el semicírculo de Capricornio hasta Gemini con 142;30º. Por lo tanto, cada uno de los cuadrantes, tanto a un lado como en el otro del Equinoccio de primavera saldrán con 71;15 grados de tiempo, y cada uno de los cuadrantes tanto a un lado como en el otro del Equinoccio de otoño saldrán con 108;45 grados de tiempo. Por lo tanto los signos restantes [de cada cuadrante], Gemini y Capricornio, saldrán cada uno con 29;17 grados de tiempo, que es la diferencia [de 19;12º + 22;46º] con los 71;15º con los que sale el cuadrante, y los signos remanentes de Cancer y Sagittarius saldrán cada uno con 35;15 grados de tiempo, que es la diferencia [de 36;28º + 37;2º] de los 108;45º con los que sale éste cuadrante.

También es obvio que podríamos calcular los tiempos de salida de los arcos más pequeños de la eclíptica [respecto de los signos en su totalidad] aunque exactamente por el mismo método. Pero también, tal como sigue, podríamos calcularlos por otro procedimiento más fácil y práctico.

[Ver Fig. 2.7] Primero, sea ABGD que representa un meridiano, BED el semicírculo del horizonte, AEG el semicírculo del Ecuador, y ZEH el semicírculo de la Eclíptica, con la intersección E tomada como el Equinoccio de primavera. Cortar un arco arbitrario EΘ sobre [la Eclíptica], y dibujar el segmento ΘK del paralelo al Ecuador a través de Θ. Tomando L como el polo [Sur] del Ecuador, dibujar a través de él los cuadrantes de los grandes círculos LΘM, LKN y LE.

Fig. 2.7
Fig. 2.7

Entonces, es inmediatamente obvio que el segmento EΘ de la Eclíptica sale con el arco EM del Ecuador en la esfera recta, y con NM en la Esfera Oblicua, dado que el arco KΘ del círculo paralelo, con el cual sale el segmento EΘ [en la Esfera Oblicua], es similar al arco NM del Ecuador y similar a los arcos de los círculos paralelos saliendo en los mismos instantes en todas partes. Por lo tanto, el arco EN es la diferencia entre los tiempos de salida del segmento EΘ en la Esfera Oblicua y en la Θ. En consecuencia, hemos demostrado esto para los arcos de la Eclíptica limitados por el punto E y el círculo paralelo a través de K, en cada caso, si es dibujado el arco del gran círculo correspondiente a LKN, el segmento EN comprenderá la diferencia entre éste arco de los tiempos de salida en la Esfera Recta con el de la Esfera Oblicua [8].

Lo que se ha requerido para examinar.

Habiendo establecido esto como tema preliminar, dibujemos [ver Fig. 2.8] un diagrama conteniendo sólo el meridiano y los semicírculos del Horizonte [BED] y del Ecuador [AEG]; [y] dibujemos a través de Z, el polo Sur del Ecuador, los dos cuadrantes de grandes círculos ZHΘ y ZKL. Tomemos H como la intersección del horizonte con el círculo paralelo a través del Solsticio de invierno, y K como la intersección [del horizonte] con el círculo paralelo a través, por ej., del comienzo de Pisces, o de algún otro punto en el cuadrante [desde el comienzo de Capricornus hasta el final de Pisces].

Fig. 2.8
Fig. 2.8

Entonces, nuevamente, los arcos de grandes círculos ZKL y EKH son dibujados para intersectarse con los arcos de grandes círculos ZΘ y EΘ, y se intersectan uno con el otro en K. Por lo tanto

Cuerda arco 2 * ΘH / Cuerda arco 2 * ZH = (Cuerda arco 2 * ΘE / cuerda arco 2 * EL) * (Cuerda arco 2 * KL / cuerda arco 2 * KZ) [M.T.II]

Pero para cada latitud es dado el arco 2 * ΘH y es el mismo, dado que éste es el arco entre los Solsticios. Por lo tanto también es dado su suplemento, el arco 2 * HZ. De igual modo, para el mismo arco de la Eclíptica, el arco 2 * LK es el mismo para todas las latitudes, y está dado por la Tabla de la Inclinación (de la Eclíptica) Libro I Capítulo 15; y desde allí nuevamente es dado su [arco] suplementario, el arco 2 * KZ.

Por lo tanto, por la división [de los miembros de arriba], (Cuerda arco 2 * ΘE / Cuerda arco 2 * EL) es hallado ser el mismo para las todas las latitudes (para el mismo arco de éste cuadrante [de la Eclíptica]).

Puesto que esto es así, tomamos los diferentes valores del arco KL cada 10º [de la Eclíptica] a través del cuadrante desde el Equinoccio de primavera hasta el Solsticio de invierno (la subdivisión menor al tamaño de los arcos [de 10º], será suficiente para [nuestros] propósitos prácticos).

Luego en cada caso

Arco 2 * ΘH = 47;42,40º,
y Cuerda arco 2 * ΘH = 48;31,55p,
Arco 2 * HZ = 132;17,20º,
y Cuerda arco 2 * HZ = 109;44,53p.

Entonces, para 10º [de la Eclíptica] desde el Equinoccio de primavera hasta el Solsticio de invierno,

Arco 2 * KL = 8;3,16º,
y Cuerda arco 2 * KL = 8;25,39p,
Arco 2 * KZ = 171;56,44º,
y Cuerda arco 2 * KZ = 119;42,14p.

Para el arco de 20º desde el Equinoccio

Arco 2 * KL = 15;54,6º,
Cuerda arco 2 * KL = 16;35,56p,
Arco 2 * KZ = 164;5,54º,
Cuerda arco 2 * KZ = 118;50,47p.

Para el arco de 30º desde el Equinoccio

Arco 2 * LK = 23;19,58º,
Cuerda arco 2 * LK = 24;15,56p,
Arco 2 * KZ = 156;40,2º,
Cuerda arco 2 * KZ = 117;31,15p.

Para el arco de 40º desde el Equinoccio

Arco 2 * LK = 30;8,8º,
Cuerda arco 2 * LK = 31;11,43p,
Arco 2 * KZ = 149;51,52º,
Cuerda arco 2 * KZ = 115;52,19p.

Para el arco de 50º desde el Equinoccio

Arco 2 * LK = 36;5,46º,
Cuerda arco 2 * LK = 37;10,39p,
Arco 2 * KZ = 143;54,14º,
Cuerda arco 2 * KZ = 114;5,44p.

Para el arco 60º desde el Equinoccio

Arco 2 * LK = 41;0,18º,
Cuerda arco 2 * LK = 42;1,48p,
Arco 2 * KZ = 138;59,42º,
Cuerda arco 2 * KZ = 112;23,57p.

Para el arco 70º desde el Equinoccio

Arco 2 * LK = 44;40,22º,
Cuerda arco 2 * LK = 45;36,18p,
Arco 2 * KZ = 135;19,38º,
Cuerda arco 2 * KZ = 110;59,47p.

Para el arco 80º desde el Equinoccio

Arco 2 * LK = 46;56,32º,
Cuerda arco 2 * LK = 47;47,40p,
Arco 2 * KZ = 133;3,28º,
Cuerda arco 2 * KZ = 110;4,16p.

[Según] lo de arriba hallamos que

si dividimos la razón (Cuerda arco 2 * ΘH / Cuerda arco 2 * HZ),
a saber (48;31,55 / 109;44,53),
por la razón (Cuerda arco 2 * LK / Cuerda arco 2 * KZ),
tal como lo dado anteriormente, en cada uno de los intervalos de 10°,
tomaremos la razón (Cuerda arco 2 * ΘE / cuerda arco 2 * EL),
siendo la misma para todas las latitudes.

Para el arco 10º este es 60 / 9;33
Para el arco 20º este es 60 / 18;57
Para el arco 30º este es 60 / 28;1
Para el arco 40º este es 60 / 36;33 [9]
Para el arco 50º este es 60 / 44;12
Para el arco 60º este es 60 / 50;44
Para el arco 70º este es 60 / 55;45
y para el arco 80º este es 60 / 58;55.

Inmediatamente es obvio que para cada latitud tendremos como arco dado el arco 2 * ΘE, dado que éste, en grados, es la diferencia en grados de tiempo del día Equinoccial desde el día más corto.

Por lo tanto, de la cuerda arco 2 * ΘE
y la relación (Cuerda arco 2 * ΘE / cuerda arco 2 * EL),
cuerda arco 2 * EL será dado, y [en consecuencia] el arco 2 * EL.

Sustraeremos mitad de esto, a saber el arco EL, que comprende la diferencia arriba mencionada [entre los tiempos de salida en la Esfera Recta y la Esfera Oblicua], desde el tiempo de salida del arco de la Eclíptica en la Esfera Recta en cuestión, y por lo tanto obtener el tiempo de salida del mismo arco en la latitud dada.

Como un ejemplo, tomemos nuevamente la latitud del paralelo a través de Rodas.

Aquí

arco 2 * EΘ = 37;30º,
entonces Cuerda arco 2 * EΘ ≈ 38;34p.
Luego 60 / 38;34 = 9;33 / 6;8
= 18;57 / 12;11
= 28;1 / 18;0
= 36;33 / 23;29 [10]
= 44;12 / 28;25
= 50;44 / 32;37
= 55;45 / 35;52 [11]
= 58;55 / 37;52,

Y la cuerda arco 2 * EL es igual a la cantidad de arriba [6;8p, etc.] en cada uno de los intervalos de 10º anteriormente mencionados, y la mitad del arco [que] él subtiende, a saber el arco EL, asumirá los valores siguientes:

Para los primeros 10º 2;56º
Hasta el fin del segundo 5;50º
Hasta el fin del tercero 8;38º
Hasta el fin del cuarto 11;17º
Hasta el fin del quinto 13;42º
Hasta el fin del sexto 15;46º
Hasta el fin del séptimo 17;24º
Hasta el fin del octavo 18;24º
Hasta el fin del noveno, obviamente, 18;45º.

Dado que los correspondientes tiempos de salida en la Esfera Recta, son los siguientes:

Para los primeros 10º 9;10º
Hasta el fin del segundo 18;25º
Hasta el fin del tercero 27;50º
Hasta el fin del cuarto 37;30º
Hasta el fin del quinto 47;28º
Hasta el fin del sexto 57;44º
Hasta el fin del séptimo 68;18º
Hasta el fin del octavo 79;5º
Hasta el fin del noveno 90º (*)

(*) (los grados de tiempo del cuadrante en su totalidad), es claro que por sustracción, la diferencia dada por el arco EL, desde el correspondiente tiempo de salida en la Esfera Recta en cada caso, obtenemos los tiempos de salida de los mismos arcos en la latitud en cuestión.

Estos son

Para los primeros 10º 6;14º
Hasta el fin del segundo 12;35º
Hasta el fin del tercero 19;12º
Hasta el fin del cuarto 26;13º
Hasta el fin del quinto 33;46º
Hasta el fin del sexto 41;58º
Hasta el fin del séptimo 50;54º
Hasta el fin del octavo 60;41º
Hasta el fin del noveno 71;15º. (*)

(*) (Por ej. para el cuadrante en su totalidad), (que corresponde a la longitud de la mitad del día [más corto]).

Los segmentos de diez grados [cada uno] saldrá en los siguientes grados de tiempo:

1 ros. 6;14º
2 dos. 6;21º
3 ros. 6;37º
4 tos. 7;1º
5 tos. 7;33º
6 tos. 8;12º
7 mos. 8;56º
8 vos. 9;47º
9 nos. 10;34º

Una vez que hemos establecido lo anteriormente [descrito], los tiempos correspondientes de salida de los cuadrantes restantes inmediatamente serán establecidos sobre la misma base, por medio de los teoremas expuestos [más] arriba.

En el mismo sentido calculamos los tiempos de salida cada 10º para todos los otros paralelos que uno podría determinar sobre la práctica actual. Para usos futuros los asignaremos en unas tablas, comenzando con el paralelo por debajo del Ecuador, e ir tan lejos como con el paralelo con su día más largo de 17 horas. Los paralelos son tomados a intervalos de ½ hora [del día más largo], dado que la diferencia [de los cálculos exactos] de los resultados derivados por interpolación lineal [entre intervalos de media hora] es insignificante. En la primer columna pondremos los 36 intervalos de 10 grados del círculo, y en la siguiente los correspondientes grados de tiempo de los tiempos de salida de aquel arco de 10º en la latitud en cuestión, y en la tercera [columna], la suma acumulada, tal como sigue:

Capítulo Anterior Contenidos Capítulo Siguiente
Libro II
Capítulos
01 02 03
04 05 06
07 08 09
10 11 12
13

Notas de referencia[editar]

  1. Ver HAMA 34-7, Pedersen 110-13.
  2. Por ej. el Equinoccio de primavera define “Aries 0º”, etc. Ésta especificación fue necesaria dado que otras normas existían en la antigüedad, notablemente aquellas donde el Equinoccio de primavera estaba en Aries 8º y Aries 10º (derivado de la práctica Babilónica). Ver HAMA II 594-8.
  3. Cf. Libro II Capítulo 3 (Fig. 2.2).
  4. Aquí (H122,4) y en H122,10 y H123,13 los manuscritos según la tradición griega y la árabe dan 70;32,p; para la cuerda de 72º, mientras que en la Tabla de las Cuerdas, éste es de 70;32,3p (hallada sólo en el manuscrito germano). ¿Es ésta una prueba de que hubo una más temprana versión de la Tabla de las Cuerdas? Cf. Libro II Capítulo 5 nota de referencia nro. 2.
  5. Leer segmento  segmento μ segmento α (en el manuscrito B y Is) en cambio de segmento  segmento  (156;41) en H122,7. Corregido por Manitius.
  6. Leer segmento  o segmento  (con el manuscrito Ar y las variantes del manuscrito Griego) en cambio de segmento  segmento θ segmento  (41;9,18) en H123,11. Corregido por Manitius.
  7. Corrigiendo el error de impresión “ME” en H123,21, con el de Manitius.
  8. Éste arco EN es conocido en la astronomía medieval como la “diferencia ascendente”. Ver HAMA 36 y 980-2, y Neugebauer-Schmidt.
  9. Calculado desde las figuras de Ptolomeo: 36;31,42. Para el arco de arriba de 40º, un valor más preciso para la cuerda arco 2 * KZ podría ser 115;52,26p. Sin embargo aquí, sustituyendo esto deriva a 36;31,40. Tanto en un caso como en el otro, 36;32 podría ser el resultado correcto al minuto más próximo. Ésta es la lectura del manuscrito de Gerardo de Cremona (Ger), aunque el resto de la tradición está [de acuerdo] con 36;33.
  10. Cálculos precisos con 36;33 aquí dan 23;29,36, mientras [que con] 36;32 (ver nota de referencia anterior) dan 23;28,58. Se piensa en favor de la lectura 36;32, pero no enfáticamente.
  11. Calculado: 35;50,6. Sin embargo 35;52 está garantizado por 17;24 para el séptimo arco de 10° de abajo (35;50 deriva a 17;23º).