Almagesto: Cálculos

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Ejemplos de Cálculos según el Almagesto

Ejemplo 1 - a) Calcular la distancia desde el Sol hasta el solsticio de verano y b) Hallar la latitud terrestre

(a). Libro II Capítulo 4. Dada la latitud terrestre (φ), calcular (Δλ) la distancia desde el Sol hasta el solsticio de verano medido a lo largo de la eclíptica.

Ejemplo: φ = 4;15º (cf. Libro II Capítulo 6, característica nro. 2, segundo paralelo).

Desde la Tabla de las Inclinaciones:
λ Arco de la Eclíptica δ Arco del Meridiano
10° 4;1,38º
11° 4;25,32º
Por consiguiente, para una declinación [declinación solar = latitud terrestre φ] de 4;15º le corresponde una longitud eclíptica (contada desde el equinoccio de primavera) de 10;33,33º.
Por lo tanto, la distancia desde el solsticio de verano, Δλ = (90º - 10;33,33º) = 79;26,27º (en el texto: 79 ½º).
Ver Fig. 1.15 en el Libro I Capítulo 14. HΘ = δ es el arco del meridiano que aquí es igual a 4;15°, es decir la declinación del Sol e igual a la latitud terrestre, por lo tanto el Sol en el cenit. Estos 4;15° se entrarán entre los dos valores de la segunda columna (δ) de la tabla y se interpolará [1] para hallar λ = EH el arco de la eclíptica, medido desde la intersección de la eclíptica con el ecuador (equinoccio de primavera) hasta su intersección con el meridiano ZHΘ. Δλ = HB es la distancia desde H hasta el solsticio B, aunque B es el solsticio de invierno, pero la figura es válida, simplemente cambiar la posición del ZHΘ de manera opuesta.

Nota del traductor al español

(b). Libro II Capítulo 6 Característica nro. 34. Hallar la latitud terrestre (φ) en la que el Sol no se pone para un período de tiempo dado.

Ejemplo: dado el período de un mes. Tomando un mes de 30 días, y asumiendo que el Sol se mueve 1 °/día sobre la eclíptica, hallamos que el paralelo en cuestión corta 30º de la eclíptica, o 15º a ambos lados del solsticio de verano.

Desde la Tabla de las Inclinaciones:
λ Arco de la Eclíptica δ Arco del Meridiano
90º - 15º = 75º 22;59,41º
Por consiguiente φ = 90º - δ = 90° - 22;59,41º = 67;0,19º (en el texto: 67º).

[Se entra con 75° en la columna λ de la Tabla y se halla directamente el valor de δ, aquí 22;59,41º].

Ejemplo 2 - Hallar la longitud del día o de la noche

Libro II Capítulo 9. Dadas la longitud del Sol (λSol) y la latitud terrestre (por ej. el "clima"), hallamos la longitud del día o de la noche y la longitud de la hora de estación.

Ejemplo: λSol = Sagittarius 28;18º. Lugar: Babilonia (cf. primer eclipse del Libro IV Capítulo 11). ¿Cuál es la longitud de la noche?

Utilizamos la Tabla de los Tiempos de Salida para Rodas (M = 14 ½ horas).

(a) Primer método.
Dado que es de noche, tomamos los grados opuestos al Sol, Gemini 28;18º. Desde la Tabla:

Interpolar [1] en "Intervalo de 10°" con Grados de Tiempo Acumulado Interpolados
ρ (Gemini 28;18º) 69;27º
ρ (Sagittarius 28;18º) 286;50º
Diferencia (en el orden de los signos), Δ: 217;23º

Longitud de la noche en horas equinocciales es Δ/15: 14;29 horas (en el texto: 14 ⅖ horas).

Longitud de 1 hora nocturna de estación en grados de tiempo es Δ/12: 18;7º (en el texto: 18º)
(por consiguiente la longitud de 1 hora de estación en horas equinocciales es Δ/(12 * 15): 1;12,28 horas ).

(b) Segundo método.
De la Tabla de los Tiempos de Salida en la columna Esfera Recta:

Interpolar [1] en "Intervalo de 10°" con Grados de Tiempo Acumulado Interpolados
α (Gemini 28;18º) 88;9º
ρ (Sagittarius 28;18º) 69;27º
Diferencia (Δ): 18;42º
Δ/6: 3;7º

Dado que Gemini esta al Norte de la eclíptica, sumar 15º, entonces (3;7° + 15°): 18;7º
Esta es la longitud de 1 hora nocturna de estación en grados de tiempo,
y en horas equinocciales (18;7° / 15): 1;12,28 hs.

Ejemplo 3 - Convertir el tiempo de horas de estación en tiempo de horas equinocciales

Desde la mitad hasta el final del Libro II Capítulo 9. Dada la longitud de una hora de estación en grados de tiempo, convertir el tiempo de horas de estación en tiempo de horas equinocciales.

Del Ejemplo 2 (q.v.), longitud de 1 hora nocturna de estación: 18;7º.

Luego de la medianoche ¿Cuántas horas equinocciales son 5 ½ horas de estación?

5 ½ * 18;7° / 15° = 6;38, entonces el tiempo es de 6;38 a.m. (06:38 horas).
Ptolomeo (l.c.) multiplica (18° / 15°) * 5 ½ y le da 6 ⅗ horas equinocciales (06:36 hs.) después de la medianoche.

Ejemplo 4 - Hallar el punto de la eclíptica en el que esta saliendo (el "horóscopo")

Desde la mitad hasta el final del Libro II Capítulo 9. Dada la longitud del Sol (λSol), la latitud terrestre, y el tiempo en horas de estación, hallar el punto de la eclíptica en el que está saliendo (el "horóscopo").

Ejemplo (cf. Libro VII Capítulo 3 - observación). λSol: Scorpius 13;17º (en el texto, "alrededor de la mitad de Scorpius")
Lugar: Alejandría. Tiempo: 2 ¼ horas de estación después de la medianoche [2].

cf. Ejemplo 2. Longitud de 1 nocturna (λSol = Scorpius 13;17º, M = 14 hs.) 16;38º
Tiempo desde la Puesta del Sol: 8 ¼ * 16;38°: 137;14º
Desde la Tabla de los Tiempos de Salida para el Clima III (Soene): ρ (Taurus 13;17°) tomamos el punto opuesto al Sol, dado que es de noche 31;4º
Suma Total (137;14º + 31;4º) 168;18º

168;18º es el tiempo de salida (en Clima III - Soene) del horóscopo: ρ (Virgo 19;51º)
(en el texto: "alrededor de Virgo 22 ½º").

Ejemplo 5 - Hallar el punto de la culminación superior según los datos del ejemplo anterior

Desde la mitad hasta el final del Libro II Capítulo 9. Dados los mismos datos como en el Ejemplo 4, hallar el punto de la culminación superior.
Total de horas de estación desde el último mediodía: 6 horas diurnas mas 8 ¼ horas nocturnas.

Longitud de 1 hora diurna: 13;22º
Longitud de 1 hora nocturna: 16;38º
6 * 13;22º + 8 ¼ * 16;38º = 80;12º + 137;14º = 217;26º
Tabla de los Tiempos de Salida en la esfera recta del grado del Sol: α (Scorpius 13;17º): 220;46º
Suma total (217;26º + 220;46º): 78;12º

El punto de la culminación superior es 78;12º = α (Gemini 19;11º)
(en el texto: Gemini 22 ½º).

En Suma total realizar el siguiente cálculo: ((Suma total / 360) - Entero(Suma total / 360)) * 360, y todo quedará reducido a un ángulo de un giro (0º a 360º), aquí 78;12º. La Suma total debe estar expresada en un número decimal, entonces: a° + b'/60 + c"/3600.

Número de Signo del Zodíaco: Entero(Suma total * 12 / 360), donde 0 es Aries, 1 es Taurus, ..., 11 es Pisces.
Posición del Sol en el Signo del Zodíaco: ((Suma total * 12 / 360) - Entero(Suma total * 12 / 360)) * 30, en (°).
Nota del traductor al español

Ejemplo 6 - Hallar el punto de la culminación superior dada la longitud del "horóscopo"

Desde la mitad hasta el final del Libro II Capítulo 9. Dada la longitud del horóscopo en un lugar dado, hallar el punto de culminación superior.

Ejemplo: los mismos datos como en el Ejemplo 4.

Tiempo de salida del horóscopo en el Clima III (Soene): (Virgo 19;51º): 168;18º
Menos (-): 90;0º
Diferencia: 78;18º

El punto de culminación superior: 78;18º = α (Gemini 19;16º)
(en el texto:Gemini 22 ½º).

La discrepancia del resultado con el Ejemplo 5 se debe al redondeo a minutos de las tablas y en cada paso del cálculo.

Ejemplo 7 - Calcular la posición del Sol

Libro III Capítulo 9. Dada la fecha, calcular la posición del Sol.
Ejemplos (cf. Libro IV Capítulo 11 2° eclipse lunar del segundo conjunto de tres eclipses). Fecha: 548° año de la era de Nabonassar, 9/10 de Mechir [VI], 1 ⅓ horas equinocciales después de la medianoche [20 de Marzo de –199].

De la Tabla del Movimiento Medio del Sol:

Tiempo Δ seg. λSol
540 años 228;42,48º
7 años 358;17,53º
150 días 147;50,43º
8 días 7;53,6º
13 horas 0;32,2º
0;20 horas 0;0,49º
Suma total = 547ª 158d 13 ⅓h 743;17,21º → 23;17,21º
más seg. κ (época: 1° de Thoth del 1° año de Nabonassar): + 265;15º
seg. κ: 288;32,21º

De la Tabla de la Anomalía del Sol, para el argumento 288;32º, (por interpolación [1]) encontramos la ecuación como de 2;13,28º. Este [valor] es aditivo, dado que κ cae en la segunda columna. Continuando con la tabla anterior.

κ cae en la segunda columna 288;32,21º
más la longitud del apogeo: +65;30º
seg. λ: 354;2,21º
mas θ + 2;13,28º
λ (la posición del Sol): 356;15,49º
En Suma total realizar el siguiente cálculo: ((Suma total / 360) - Entero(Suma total / 360)) * 360 y todo quedará reducido a un ángulo de un giro (0º a 360º), aquí 23;17,21º. La Suma total debe estar expresada en un número decimal, entonces: a° + b'/60 + c"/3600.

Número de Signo del Zodíaco: Entero(λ * 12 / 360), donde 0 es Aries, 1 es Taurus, ..., 11 es Pisces.
Posición del Sol en el signo del zodíaco: ((λ * 12 / 360) - Entero(λ * 12 / 360)) * 30, en (°).
Nota del traductor al español

O alrededor de Pisces 26;16º
(en el texto: Pisces 26;17º).

Fecha y horas calculadas con un programa de computación desde la observación realizada en (Alejandría) de la siguiente:
Posición del Sol en la eclíptica
Fecha Hora Longitud del Sol Constelación
20 de Marzo de 200 a. C. (-200) 01:20 hs. Pisces 355° 38' 29" Pisces

Nota del traductor al español: datos elaborados con mi software de aplicación "M1 Sistema Astronómico"©.

Ejemplo 8 - Cálculo de la "ecuación del tiempo"

Al final del Libro III Capítulo 9. Calculo de la "ecuación del tiempo", E (dado un intervalo en días solares verdaderos, hallar el intervalo en días solares medios).

Ejemplo (cf. 1° eclipse lunar del segundo conjunto de tres eclipses Libro IV Capítulo 6):

tn Fecha Hora
t₁ 17° año desde Adriano, (880° año de la era Nabonassar), 20/21 de Pauni [X] 11;15 p.m. (23:15 hs.)
t₂ 19° año desde Adriano, (882° año de la era Nabonassar), 2/3 de Choiak [IV] 11;00 p.m. (23:00 hs.)

Desde las tablas solares: Tabla del Movimiento Medio del Sol y Tabla de la Anomalía del Sol (Ver Ejemplo 7 y cf. Manitius I p. 437), [según los datos anteriores]:

tn seg. λ(tn) λ(tn)
t₁ Taurus 42;21º 13;15º
t₂ Libra 206;42º 25;10º
Para hallar en seg. λ(tn) el signo del zodíaco: Entero(seg. λ(tn) * 12 / 360), donde 0 es Aries, 1 es Taurus, ..., 11 es Pisces.

Nota del traductor al español

Por consiguiente, en la Tabla de los Tiempos de Salida (en esfera recta) entrando λ(tn) en el signo correspondiente y en la columna "Intervalos de 10°", interpolar [1] con él para hallar el valor en la columna "0° Grados de Tiempo Acumulados":

α(tn) Valor Interpolado
α (t₁) 40;44º
α (t₂) 203;17º
Δ seg. λ = seg. λ(t₂) - seg. λ(t₁) Δα = α(t₂) - α(t₁) Diferencia (Δ seg. λ - Δα ) = E (Ecuación del Tiempo)
164;21º 162;33º 1;48º = 1;48º / 15 = 7 ⅕ minutos.

Dado que Δ seg. λ > Δα, restamos E desde el "simple" intervalo de 1 año 166 días 23;45 horas (primera tabla: (t₁ - t₂), en días solares verdaderos), para llegar, al intervalo en días solares medios de: 1 año 166 días 23;37,48 horas
(en el texto: 23 ⅝ horas = 23;37,30 horas).

Ejemplo 9 - Cálculos de la latitud y de la longitud lunar

Libro V Capítulo 9. Para una fecha dada, calcular desde las tablas la latitud y la longitud de la Luna.
Ejemplo: 466° año de la era Nabonassar, 7/8 de Thoth [I], 2 horas equinocciales después de la medianoche (cf. Libro VII Capítulo 3, observación).

De las Tablas de los Movimientos Medios de la Luna:

seg. λ (Longitud) seg. α (Anomalía) seg. ω (Latitud) seg. η (Elongación)
Valor de la Época (1° de Thoth del 1° año de la era Nabonassar) 268;49º 354;15º 70;37º
450 años 260;46,44º 323;26,5º 320;54,6º 10;11,3º
15 años 140;41,33º 250;46,52º 70;41,48º 144;20,22º
6 días 79;3,30º 78;23,24º 79;22,34º 73;8,40º
14 horas 7;41,10º 7;37,16º 7;43,2º 7;6,41º
Suma total 488;12,57º 929;2,37º 832;56,30º 305;23,46º
Δ seg. λ = 128;13º seg. α = 209;3º seg. ω = 112;56º 2 * seg. η = 250;48º
Para la Suma total en Δ seg. λ, seg. α, seg. ω y 2 * seg. η, realizar el siguiente cálculo: ((Suma total / 360) - Entero(Suma total / 360)) * 360, y todo quedará reducido a un ángulo de un giro (0º a 360º), resultados asignados en la última fila de la tabla anterior. La Suma total debe estar expresada en un número decimal, entonces: a° + b'/60 + c"/3600.

Nota del traductor al español

Desde la Tabla de la Anomalía,

Pasos Interpolación / Cálculos
Entrar (2 * seg. η) en la columna 1 ó 2 e interpolar [1] en la columna 3 -13;4º (c₃ = Ecuación del Apogeo)
Anomalía verdadera α = seg. α + c₃ 209;3º - 13;4º = 195;59º
Entrar (α) en la columna 1 ó 2 e interpolar en la columna 4 1;30º (c₄ = Ecuación Epicíclica)
Entrar (α) en la columna 1 ó 2 e interpolar en la columna 5 0;55º (c₅ = Incremento Ecuación Epicíclica)
Entrar (2 * seg. η) en la columna 1 ó 2 e interpolar en la columna 6 0;36,52º (c₆ = Sexagésimas Partes)
Ecuación c = c₄ + c₅ * c₆ +(1;30º + 0;55º * 0;36,52º) = +2;4º
Longitud λ = Δ seg. λ + c + λ(época) 128;13º + 2;4º + 41;22º = 171;39º (en el texto: 171;30º).
ω = seg. ω + c 112;56º + 2;4º = 115;0º
Entrar (ω) en la columna 1 ó 2 e interpolar en la columna 7: Latitud β(ω) -2;7º (c7 = Latitud) (en el texto: -2 ⅙º)
Datos calculados con un programa de computación desde la observación realizada por Timocares (actual Alejandría) de la:
Ocultación de Spica por la Luna:
Fecha Hora Local AR / Longitud Luna DEC / Latitud Luna
9 de Noviembre de 283 a. C. (-283) 03:00:00 hs. Virgo 11h 28m 04s / 171° 17' 06" 1° 4' 6,62" / -2° 05' 47"

Nota del traductor al español: carta y datos elaborados con mi software de aplicación "M1 Sistema Astronómico"©.

Ejemplo 10 - Dado un instante y lugar, con las tablas, calcular la paralaje lunar con la longitud lunar y solar, la latitud lunar y su elongación

Libro V Capítulo 19. Calcular la paralaje Lunar con la longitud lunar y solar, latitud lunar y su elongación.

Ejemplo: instante (tiempo), 2 ½ horas equinocciales después de la medianoche (tiempo local verdadero de Alejandría); λSol: Scorpius 13;17º; λLuna: Virgo 21;30º, βLuna: -2 ⅙º (cf. Libro VII Capítulo 3, observación) y Ejemplo 9).

Con la longitud solar y el tiempo local: el punto de culminación: Gemini 19;11º (cf. Ejemplo 5).

Distancia de la Luna desde el meridiano [(de Alejandría)]:

α (Virgo 21;30º) - α (Gemini 19;11º) = 172;12º - 78;12º = 94º = 6;16 horas al Este (06:16 hs.).

Desde las Tablas de los Ángulos y de los Arcos (Clima III, Bajo Egipto), argumentos: 6;16 horas ("Hora", vertical) y 21;30º (horizontal), por interpolación [1] en las tablas de Virgo y Libra:

arco 90º
ángulo Este 172;30º

Corrección del arco y del ángulo de la latitud lunar (cf. Libro V Capítulo 19 Fig. 5.20) y según la Tabla de las Cuerdas:

Cuerda (2 * (180º - 172;30º)) = Cuerda 15º 15;40p
Cuerda (180º - 15º) = Cuerda 165º 118;58p

Multiplicando βLuna 2 ⅙° (+) en cada uno de ellos y dividiéndolos por 120, nos da 0;17º y 2;9º respectivamente.

2 ⅙° * 15;40p / 120p 0;17º
2 ⅙° * 118;58p / 120p 2;9º

Entonces el arco corregido esta dado por

((90º + 0;16º) ^ 2 + (2;9º) ^ 2)) ^ 0,5 ≈ 90;18º

Y el ángulo correspondiente de la corrección de:

2;9º * 120p / 90;18º 2;51p

que es la cuerda cerca de los 2;44º (ver Tabla de las Cuerdas), cuya mitad es 1;22º.

Por lo tanto el ángulo corregido es de

172;30º - 1;22º 171;8º

Tomamos el arco como de exactamente 90º (dado que de otro modo la Luna podría estar debajo del horizonte).

CÁLCULO DE LA PARALAJE LUNAR TOTAL

Según el Ejemplo 9, la anomalía verdadera lunar αLuna = 195;59º y la elongación lunar seg. η = 305;24º.

La paralaje lunar:

Desde la Tabla de la Paralaje, entrando con el argumento ζ = 90º.

3º Columna 4º Columna 5º Columna 6º Columna
0;53,34 0;10,17 1;19,0 0;25,0
Con el argumento (360º - αLuna) / 2 interpolar [1] en la 7° Columna interpolar en la 8° Columna
~ 82º 58,39 58,31
Paralaje en la sizigia: 0;53,34 + 0;10,17 * 0;58,39 1;3,37º
Paralaje en la cuadratura: 1;19,0 + 0;25,0 * 0;58,31 1;43,23º
Diferencia Δ: 0;39,46º
Con el argumento (360º - seg. η) interpolar [1] en la 9° Columna
360º - 305;23,46º = 54;36º 42;35

Paralaje lunar total: 1;3,37º + 0;39,46º * 0;42,35º ≈ 1;32º.

DETERMINACIÓN DE LOS COMPONENTES LONGITUDINALES Y LATITUDINALES DE LA PARALAJE

El ángulo entre el círculo horario y la eclíptica (ver más arriba, el ángulo corregido): 171;8º. Este es mayor que 90º, así que tomamos su ángulo suplementario de 171;8º = 180º - 171;8º = 8;52º. Dos veces esto (8;52º * 2) = 17;44º, y de esto último su ángulo suplementario 162;16º.

Según la Tabla de las Cuerdas

Ángulo [1] Cuerda Interpolada
17;44º 18;30p
162;16º 118;34p
Tipo de Paralaje Cálculo Paralaje
Latitudinal 1;32º * 17;44º / 120p ≈ 0;13 ½º
Longitudinal 1;32º * 118;34º / 120p ≈ 1;31º

La paralaje latitudinal es hacia el Sur (el cenit al Norte del punto de culminación).

Dado que la paralaje latitudinal es hacia el Sur y el ángulo es mayor que 90º, la paralaje longitudinal es positiva.

Resultado:

Paralaje en latitud: -0;13 ½º (en el texto: -0;5º).
Paralaje en longitud: +1;31º (en el texto: +1;0º).

Ejemplo 11 - Cálculo de un eclipse de Luna

Libro VI Capítulo 9. Dado el año y mes, calcular un eclipse lunar.
Ejemplo: Fecha: Año: 28° año de Nabonassar, Mes: Thoth, (cf. Libro IV Capítulo 6. De los tres primeros más antiguos, el segundo eclipse lunar, ocurrido en el segundo año del mismo Mardokempad, 18/19 de Thoth [I] en el calendario Egipcio [8/9 de Marzo –719]).

En las Tablas de las Conjunciones y de las Oposiciones, calcular la oposición media (fase lunar: llena):

Período Días de Thoth seg. κ (Distancia del Sol) seg. α (Anomalía) seg. ω (Latitud)
En la Tabla de las Oposiciones, 26 años: 9;55,35 días 267;58,12º 83;24,29º 230;10,5º
En la Tabla Incrementos Anuales y Mensuales (Oposición y Conjunción)), año: 2° 8;15,53 días 7;39,36º 285;25,4º 46;45,54º
Suma total: 28 años 18;11,28 días 275;37,48º 8;49,33º 276;55,59º
Para la Suma total en cada columna, realizar el siguiente cálculo: ((Suma total / 360) - Entero(Suma total / 360)) * 360, y todo quedará reducido a un ángulo de un giro (0º a 360º), resultados asignados en la última fila de la tabla anterior. La Suma total debe estar expresada en un número decimal, entonces: a° + b'/60 + c"/3600.

Tiempo de la oposición media:
18;11,28 días = (18 + 11/60 + 28/3600) = 18,1911111111 días.
Días: Entero(18,1911111111) = 18 días.
Horas: (18,1911111111 - 18) * 24 = 0,1911111111 * 24 = Entero(4,5866666666) = 4, como 0,1911111111 < 0,5 = 4 + 12 = 16 horas.
Minutos: (4,5866666666 - 4) * 60 = 0,5866666666 * 60 = Entero(35,1999999999) = 35 minutos.
Segundos: (35,1999999999 - 35) * 60 = 0,199999999 * 60 = 11,9999999999 = 12 segundos.
Nota del traductor al español

Tiempo de la oposición media: 18;11,28 días de Thoth a las 4;35 p.m. (16:35 hs.).

Comprobar con Seg. ω si hay eclipse lunar o no, según en la descripción en la tabla "LÍMITES [DEL ECLIPSE] DE LA LUNA EN EL MOVIMIENTO MEDIO [LATITUDINAL]" que van desde 74;48º a 105;12º y desde 254;48º a 285;12º.

Nota del traductor al español

Seg. ω (276;55,59º) cae dentro de los límites de la eclíptica para el eclipse lunar, por lo tanto es posible [tal eclipse].

CÁLCULO DE LA OPOSICIÓN VERDADERA

Interpolar con el argumento [1] Valor Interpolado
c(seg. κ) = 275;37,48º en la Tabla de la Anomalía del Sol: +2;21º (Ecuación solar)
c(seg. α) = 8;49,33º en la Tabla de la primera Anomalía simple de la Luna: -0;42º (Ecuación lunar)
Verdadera posición en latitud: ω = seg ω + c(seg. α) = 276;14º en la oposición media
Δλ = 2;21º + 0;42º = 3;3º
Movimiento horario verdadero de la Luna en longitud: 0;32,56º - 0;32,40º * 4 ⅔' = 0;30,24º
Δt = 3;3º * (13/12) / 0;30,24º = 6;31 horas (06;31 hs.)

La longitud verdadera de la Luna en la Sizigia media es menor que la longitud verdadera del Sol (menos 180º). Así que sumamos Δt al tiempo de la oposición media para que nos de el tiempo de la oposición verdadera igual a 11;6 p.m. (en el texto: 11;10 p.m., 23:00 hs.).

Movimiento en Δt = 3;3º * (13/12) = 3;18º.

Sumamos este movimiento a la posición verdadera en latitud, ω = ω + Δt = 276;14º + 3;18º = 279;32º en la oposición verdadera.

En 6;31 horas el movimiento [medio] en anomalía es de 3;33º, entonces en la oposición verdadera seg. α = seg. α + 3;33º = la (Anomalía) = 12;22º.

CÁLCULO DE LAS CIRCUNSTANCIAS DEL ECLIPSE LUNAR

Desde la Tabla de los Eclipses, en la "Tabla Eclipses Lunares":

En la Distancia Mayor:
Interpolar con el Agumento [1] Magnitud interpolada Duración interpolada (Minutos de Inmersión)
279;32º 2;32 dígitos 0;26,22º
En la Distancia Menor:
Interpolar con el Argumento [1] Magnitud interpolada Duración interpolada (Minutos de Inmersión)
279;32º 4;42 dígitos 0;39,35º
Diferencia Mag. Dist. Mayor - Mag. Dist. Menor Dura. Dist. Mayor - Dura. Dist. Menor
Δ 2;10 dígitos 0;13,13º

Desde la Tabla de los Eclipses, en la "Tabla de Corrección - Tabla de Magnitudes":

Interpolar con el argumento seg α [1] Sexagésimas interpoladas (Tabla de Corrección) Magnitud Duración
12;22º 0;43º 2;32 dígitos + 2;10 dígitos * 0;0,43º = 2;34 dígitos (en el texto: 3 dígitos observados) 0;26,22º + 0;13,13º * 0;0,43º = 0;26,31º

Para obtener el tiempo desde el comienzo hasta el eclipse medio, dividimos la duración (de 0;26,31º incrementada por una duodécima parte), dividido por el movimiento horario verdadero de la Luna:

Tiempo desde el Comienzo del Eclipse hasta el Eclipse Medio
0;26,31º * (13/12) / 0;30,24º = 0;57 horas
Eclipse en Alejandría - Magnitud: ca. 2 ½ dígitos
Fase del Eclipse Tiempo
Comienzo del eclipse 10;9 p.m. (22:09 hs. del 18 de Thoth)
Eclipse medio 11;6 p.m. (23:06 hs. del 18 de Thoth)
Fin del eclipse 12;3 a.m. (00:03 hs. del 19 de Thoth)
Fecha y horas calculadas con un programa de computación desde la observación realizada por los Babilonios (actual Bagdad) del siguiente:
Eclipse lunar
Fecha Tipo Eclipse 1° Contacto con la Umbra Eclipse Medio Último Contacto con la Umbra Duración de la Totalidad Tiempo Total del Eclipse % Oscurecimiento - Magnitud - Dígitos Luna en Carta
8-9 de Marzo de 720 a. C. (-720) Parcial 22:44:25 hs. 23:25:08 hs. 00:05:51 hs. ------ 01:21:25 hs. 5,25 % - 0,1111 - 1,33 dígitos Virgo
Almagesto Observación - 08.03.720 a. C.

Nota del traductor al español: carta y datos elaborados con mi software de aplicación "M1 Sistema Astronómico"©.

Ejemplo 12 - Cálculo de un eclipse de Sol

Libro VI Capítulo 10. Dado el año, mes y lugar, calcular un eclipse solar.
En el Almagesto no hay ejemplos de eclipses solares, así que he seleccionado el Eclipse del 16 de Junio de 364 d.C., que Teón observó en Alejandría, y dado como ejemplo de cálculo en su comentario sobre el Almagesto, primero de acuerdo al Almagesto, y nuevamente de acuerdo a las Tablas Manuales o Prácticas (Edición de Basilea pp. 332 - 339, cf. Rome [6]). Un cálculo algo diferente del mismo eclipse también aparece en algunos manuscritos en el breve comentario de Teón sobre las 'Tablas Manuales o Prácticas, y ha sido publicado in extenso por Anne Tihon [en su obra] "Calcul de l'eclipse".

Ejemplo: Fecha: Año: 1112° año de Nabonassar, Mes: Thoth, Lugar: Alejandría.

En las Tablas de las Conjunciones y de las Oposiciones, calcular la conjunción media (fase lunar: nueva):

Período Días de Thoth seg. κ (Distancia del Sol) seg. α (Anomalía) seg. ω (Latitud)
En la Tabla de las Conjunciones, 1101 años: 22;41,45 días 19;11,56º 222;53,32º 65;41,57º
En la Tabla Incrementos Anuales y Mensuales (Oposición y Conjunción)), 11 años: 1;9,39 días 358;28,11º 271;4,19º 211;12,3º
Suma Total: 1112 años 23;51,24 días 17;40,7º 133;57,51º 276;54,0º
Para la Suma total en cada columna, realizar el siguiente cálculo: ((Suma total / 360) - Entero(Suma total / 360)) * 360, y todo quedará reducido a un ángulo de un giro (0º a 360º), resultados asignados en la última fila de la tabla anterior. La Suma total debe estar expresada en un número decimal, entonces: a° + b'/60 + c"/3600.

Tiempo de la conjunción media:
23;51,24 días = (23 + 51/60 + 24/3600) = 23,8566666666 días.
Días: Entero(23,8566666666) = 23 días.
Horas: (23,8566666666 - 23) * 24 = 0,8566666666 * 24 = Entero(20,5599999999) = 20, como 0,8566666666 > 0,5 = 20 - 12 = 8 horas.
Minutos: (20,5599999999 - 20) * 60 = 0,5599999999 * 60 = Entero(33,5999999999) = 33 minutos.
Segundos: (33,5999999999 - 33) * 60 = 0,5999999999 * 60 = 35,9999999999 = 36 segundos.
Nota del traductor al español

Tiempo de la oposición media: 23;51,24 días de Thoth a las 8;34 a.m. (08:34 hs.).

Comprobar con seg. ω si hay eclipse solar o no, según en la descripción en la tabla "LÍMITES [DEL ECLIPSE] DEL SOL EN EL MOVIMIENTO MEDIO [LATITUDINAL]" que van desde 69;19º a 101;22º y desde 258;38º a 290;41º.

Nota del traductor al español

Seg. ω (276;54,0º) cae dentro de los límites de la eclíptica para el eclipse solar, por lo tanto es posible [tal eclipse].

CÁLCULO DE LA CONJUNCIÓN VERDADERA

Interpolar con el argumento [1] Valor Interpolado
c(seg. κ) = 17;40,7º en la Tabla de la Anomalía del Sol: -0;41º (Ecuación solar)
c(seg. α) = 133;57,51º en la Tabla de la primera Anomalía simple de la Luna: -3;50º (Ecuación lunar)
Verdadera posición en latitud: ω = seg ω + c(seg. α) 273;4º en la conjunción media
Δλ = -0;41º + 3;50º 3;9º
Movimiento horario verdadero de la Luna en longitud: 0;32,56º - 0;32,40º * 3 ⅔' 0;34,56º (Teón: 0;34,56º)
Δt = 3;9º * (13/12) / 0;34,56º 5;52 horas

El tiempo de la conjunción verdadera: 8;34 a.m. + 5;52 horas = 2;26 p.m. (Teón: 2 + ⅓ + 1/10 horas después del mediodía).

Movimiento en Δt = 3;9º * (13/12) = 3;25º.

Sumamos este movimiento a la posición verdadera en latitud, ω = ω + Δt = 273;4º + 3;25º = 276;29º en la conjunción verdadera.

En 5;52 horas el movimiento medio en anomalía es de 3;12º, entonces en la conjunción verdadera seg. α = seg. α + 3;12º = la (anomalía) 137;10º.

Para hallar en Alejandría el tiempo de la conjunción aparente primero tenemos que hallar el tiempo local verdadero, por ej. aplicar la ecuación del tiempo (Ejemplo 8).

Longitud verdadera del Sol en la conjunción media: seg. κ + seg. λₐ + c(seg. κ) 17;40º + 65;30º - 0;41º 82;29º
Movimiento del Sol desde la conjunción media hasta la verdadera: Δλ / 12 3;9º / 12 0;16º
Longitud verdadera del Sol en la conjunción verdadera: seg. κ + seg. λₐ + c(seg. κ) + Δλ / 12 82;29º + 0;16º 82;45º

Por consiguiente la ecuación de tiempo con respecto a la era de Nabonassar (cf. Ejemplo 8 para el método [a aplicar]): +24 minutos.

Tiempo de la conjunción verdadera con respecto al mediodía en Alejandría: 2;50 p.m.

CÁLCULO DE LA CONJUNCIÓN APARENTE

(1) CÁLCULO DE LA PARALAJE LUNAR (cf. Ejemplo 10):

Desde las Tablas de los Ángulos y de los Arcos Propuestos, Clima III (Bajo Egipto), interpolar [1] con los argumentos longitud del Sol λSol y tiempo de la conjunción verdadera (tiempo local)

Longitud del Sol λSol Tiempo de la Conjunción Verdadera (Tiempo Local) Distancia Cenital Ángulo
Gemini 22;45º 2;50 p.m. (14:50 hs.) 38;28º 17;35º

Desde la Tabla de la Paralaje, interpolar [1] con el argumento ζ

ζ Anomalía Lunar Verdadera αLuna Paralaje Total del Sol Paralaje Total de la Luna (sólo 3º y 4º columnas) Diferencia en las Paralajes
38;28º 137;10º (la latitud lunar es obviada) 0;1,45º 0;39,35º 0;39,35º - 0;1,45º = 0;37,50º.

Paralaje longitudinal (para el ángulo 17;35º): = 0;36º.

El tiempo desde la conjunción verdadera hasta la aparente es hallada dividiendo [el resultado] anterior por la velocidad horaria verdadera de la Luna: 0;36º / 0;34,56º ≈ 1;2 horas.

Por consiguiente, el tiempo de la conjunción aparente (primera aproximación): 3;52 p.m. (15:52 hs.)

(2) SEGUNDO CÁLCULO DE LA PARALAJE LUNAR, para el tiempo corregido:

Desde las Tablas de los Ángulos y de los Arcos Propuestos, Clima III (Bajo Egipto), interpolar [1] con los argumentos Longitud del Sol λSol y Tiempo de la Conjunción Verdadera (Tiempo Local)

Longitud del Sol λSol Tiempo de la Conjunción Verdadera (Tiempo Local) Distancia Cenital Ángulo
Gemini 22;45º 3;52 p.m. (15:52 hs.) 51;48º 18;32º

En 1;2 horas el movimiento medio en anomalía es alrededor de 0;33º, por consiguiente seg. α para el tiempo corregido es de seg. α = seg. α + 0;33º = 137;10º + 0;33º = la (Anomalía) 137;43º.

Sin tener en cuenta la latitud lunar, como [se hizo] anteriormente, desde la Tabla de la Paralaje, interpolar [1] con el argumento ζ

ζ Anomalía Lunar Verdadera αLuna Paralaje Total del Sol Paralaje Total de la Luna (sólo 3º y 4º columnas) Diferencia en las Paralajes
51;48º 137;43º (la latitud lunar es obviada) 0;2,15º 0;49,47º 0;49,47º - 0;2,15º = 0;47,32º.

Paralaje longitudinal (para el ángulo 18;32ºº): p'λ = 0;45º.

(3) CÁLCULO DE LA "EPIPARALAJE" [o diferencia entre la primera y la segunda paralaje]:

Diferencia entre la primera (1) y la segunda paralaje longitudinal (2),

p'λ - pλ d (diferencia)
0;45º - 0;36º 0;9º
hallar f (incremento) desde f / d = d / p f Epiparalaje = (d + f) Paralaje Final en Longitud
0;9º * 0;9º / 0;36º ≈ 0;2 0;11º 0;36º + 0;11º = 0;47º

Para tener en cuenta el movimiento del Sol sumar 1/12 ma. parte a este: (13 / 12) * 0;47º ≈ 0;51º.

Tiempo desde la conjunción verdadera hasta la aparente: 0;51º / 0;34,56º ≈ 1;28 horas.

Por consiguiente el tiempo de la conjunción aparente: 2;50 horas + 1;28 horas = 4;18 p.m. (Teón: 4 ⅓ horas p.m., 16:20 hs.)

(4) POSICIÓN DE LA LUNA EN ESE INSTANTE:

λ Gemini 22;45º + 0;51º Gemini 23;36º
ω 276;29º + 0;51º 277;20º
α 137;10º + 0;51º 138;1º

CÁLCULO DE LAS CIRCUNSTANCIAS DEL ECLIPSE SOLAR (PARCIAL)

CÁLCULO DE LA PARALAJE LATITUDINAL:

Desde las Tablas de los Ángulos y de los Arcos Propuestos, Clima III (Bajo Egipto), interpolar [1] con los argumentos de la longitud del Sol λSol y el tiempo de la conjunción verdadera (tiempo local)

Longitud del Sol λSol Tiempo de la Conjunción Verdadera (Tiempo Local) Distancia Cenital Ángulo
Gemini 23;36º2 4;18 p.m. 57;18º 19;46º

Sin tener en cuenta la latitud lunar, como [se hizo] anteriormente, desde la Tabla de la Paralaje, interpolar [1] con el argumento ζ

ζ Anomalía Lunar Verdadera αLuna Paralaje Total del Sol Paralaje Total de la Luna (sólo 3º y 4º columnas) Diferencia en las Paralajes
57;18º 138;1º (la latitud lunar es obviada) 0;2,24º 0;53,2º 0;53,2º - 0;2,24º = 0;50,38º.

La paralaje latitudinal (cf. Ejemplo 10) para el ángulo 19;46º: = 0;17º.

Convertimos esto para una distancia a lo largo de la órbita lunar, multiplicándolo por 12:

Δω = 12 * = 3;24º (Teón utiliza el factor 11 ½ y le da 3;19º).

Dado que ω es 277;20º, la Luna esta pasando justamente por el nodo ascendente (Nodo Ascendente). El efecto de la paralaje es hacia el Sur, por lo tanto su efecto sobre ω es negativo.

La posición final de la Luna sobre su órbita es : 277;20º - 3;24º = 273;56º, que es el argumento aparente de la Latitud.

Desde las Tablas de los Eclipses, interpolar [1] con el argumento de la latitud aparente de la Luna βLuna = 273;56º

En la Máxima distancia
Magnitud (dígitos) Duración [minutos de recorrido]
4;8 23;44,28
En la Mínima distancia
Magnitud (dígitos) Duración [minutos de recorrido]
4;56 26;18,52
Diferencia (Mínima distancia - Máxima distancia)
Magnitud (dígitos) Duración [minutos de recorrido]
0;48 2;34,24

Desde las Tablas de Corrección, interpolar [1] con el argumento α = 138;1º

Sexagésimas [partes] interpolada Magnitud (dígitos) Duración [minutos de recorrido]
51,39 4;8 + 0;48 * 0;51,39 = 4;49º 23;44,28 + 2;34,24 * 0;51,39 = 25;57

Incrementamos esto último por 1/12 ma. parte, para tener en cuenta el movimiento del sol: 28;7',
y dividirlo por la velocidad horaria de la Luna, 0;34,56º, para tomar la duración media del eclipse: 0;28,7 / 0;34,56 ≈ 0;48,18 horas (Teón: ½ + ¼ + 1/20 = 0;48 horas).

Por lo tanto las circunstancias del eclipse (sin considerar la variación de la distancia cenital durante el eclipse):

Circunstancias del Eclipse en Alejandría. Magnitud eclipse Medio: 4;49 dígitos (Teón: 4;39,18 dígitos)
Fase Hora Según Teón
Comienzo del eclipse - 1° contacto Luna-Sol 3;30 p.m. (15:30 hs.) 3;32 p.m. (15:32 hs.)
Eclipse medio 4;18 p.m. (16:18 hs.) 4;20 p.m. (16:20 hs.)
Fin del eclipse - último contacto Luna-Sol 5;6 p.m. (17:06 hs.) 5;8 p.m. (17:08 hs.)

(Teón pasa a calcular las diferencias en el comienzo y en el final del eclipse debido a la variación en la distancia cenital, cf. desde la mitad hasta el final del Libro VI Capítulo 10. Estas cantidades son de 12 minutos mas temprano y de 7 minutos mas tarde respectivamente, verificando los pasos de Ptolomeo acerca del efecto en los intervalos).

Utilizando unas tablas más modernas (aquellas de Paul Viktor Neugebauer, en Astonomische Chronologie), encuentro:

Circunstancias del Eclipse en Alejandría. Magnitud Elipse Medio: 5;6 dígitos
Fase Hora
Comienzo del eclipse - 1° contacto Luna-Sol 15;18 hs.
Eclipse medio 16;28 hs.
Fin del eclipse - último contacto Luna-Sol 17;24 hs.
Fecha y horas calculadas con un programa de computación desde la observación realizada por Teón (en Alejandría) del siguiente:
Eclipse Solar
Fecha Tipo Eclipse 1° Contacto Limbo Lunar - Limbo Solar Eclipse Medio - Distancia Centro Solar al Centro Lunar Último Contacto Limbo Lunar - Limbo Solar Duración de la Parcialidad % Oscurecimiento Solar - Magnitud Sol en
16 de Junio de 364 d. C. (364) Parcial 15:03:38 hs. 15:56:39 hs. - 22' 7" 16:46:17 hs. 01:42:38 hs. 21,03 % - 0,32138 Gemini

Nota del traductor al español: datos elaborados con mi software de aplicación "M1 Sistema Astronómico"©.

Ejemplo 13 - Calcular la "inclinación" desde el horizonte hasta el 1° contacto del limbo lunar con el limbo solar

Libro VI Capítulo 13. Dadas las circunstancias de un eclipse (magnitud y horas de las fases principales), calcular la "inclinación" (, por ej. el punto en el horizonte hacia el que apunta la línea que une los centros [de la Luna y el Sol]).

Tomamos como ejemplo el eclipse solar del Ejemplo 12 (16 Junio 364 d.C. = 24 de Thoth de 1112° de la era Nabonassar, observado por Teón), al comienzo del eclipse (1° contacto limbo lunar - limbo solar).

Dado el instante (tiempo) en Alejandría, 3;30 p.m.; magnitud, 4;49 dígitos. Primero, hallar el punto de salida de la eclíptica (cf. Ejemplo 4).

La longitud del Sol es Gemini 22;45º (cf. Ejemplo 12).

Tiempo en horas de estación en Alejandría: 3 horas después del mediodía (cf. Ejemplo 2).

Por consiguiente el punto de salida de la eclíptica es: Scorpius 10º; y por lo tanto el punto de la puesta es Taurus 10º.

En la Fig. 6.7, azimut de Taurus 10º en Clima III (Bajo Egipto): (click en la imagen para aumentar)

Fig. 6.7
Fig. 6.7
Grados Signo Zodíaco Azimut
Taurus 13;33º hacia el Norte desde el Oeste (103;33°)
Gemini 23;53º hacia el Norte desde el Oeste (113;53°)
Por lo tanto Taurus 10º 17º hacia el Norte desde el Oeste (107°)

En la Tabla de Visualización de los diagramas de las Inclinaciones, interpolar [1] con el argumento 4;49 dígitos en la 2° columna

argumento [dígitos] SOL: comienzo y fin eclipse (interpolado)
4;49 37;41º

La Luna esta al Norte de la eclíptica (en el Ejemplo 12 la posición en latitud ω es un poco más que 270º).

Por consiguiente este ángulo esta ubicado al Norte del punto de la puesta.

Entonces el punto de "inclinación" sobre el Horizonte esta en = 17º + 37;41º = 54;41º hacia el Norte desde el Oeste (144° 41').

Ejemplo 14 - Calcular la longitud de un planeta

Libro XI Capítulo 12. Dado un instante calcular la longitud de un planeta desde las Tablas de los Movimientos Medios en Longitud y en Anomalía de los cinco Planetas.

Ejemplo: Planeta: Marte, Instante: a las 9 p.m. (21:00 hs.) del 15/16 de Epiphi de 886° de Nabonassar o 30/31 de Mayo de 139 d.C. (cf. Libro X Capítulo 8, donde Marte es observado en ese momento).

En las Tablas de los Movimientos Medios en Longitud y en Anomalía de los cinco Planetas, hallar la longitud media y anomalía media:

Tiempo seg. λ seg. α
Época (1 de Thoth de 1° de la era Nabonassar) 3;32º 327;13º
810 años 138;15,13º 24;48,59º
72 años 92;17,21º 250;12,21º
3 años 213;50,43º 145;25,31º
10 meses (300 días) 157;13,4º 138;28,21º
14 días 7;20,13º 6;27,43º
9 horas 0;11,47º 0;10,23º
Suma total: 885 años 314 días 9 horas 612;40,21º 892;46,18º
Por consiguiente 252;40º 172;46º (como en el Libro X Capítulo 8)
En Suma total realizar el siguiente cálculo en seg. λ y en seg. α : ((Suma total / 360) - Entero(Suma total / 360)) * 360, y todo quedará reducido a un ángulo de un giro (0º a 360º), aquí 78;12º. Ambas sumas seg. λ y seg. α deben estar expresadas en un número decimal, entonces: a° + b'/60 + c"/3600.

Nota del traductor al español

Posición del apogeo en la época (Nabonassar): Cancer 16;40º
Movimiento del apogeo en 886 años (1º en 100 años): 8;52º
Por consiguiente la posición del apogeo en la fecha: 115;32º.
Centrum medio (seg. κ): 252;40º - 115;32º = 137;8º (Libro X Capítulo 8: 137;11º).

Desde las Tablas para determinar las Posiciones en Longitud de los cinco Planetas:
con el argumento seg. κ, hallar la ecuación del centro interpolando [1] desde la 3° y 4° columna ("Ecuación en Longitud" y "Diferencia en la Ecuación"):

con el argumento seg. κ [1] "Ecuación en Longitud" interpolada "Diferencia en la Ecuación" interpolada Suma
137;8º 9;3 -0;41 9;3º + (-0;41º) = 8;22º (cf. Libro X Capítulo 8, el ^ ZBE = 16;44ºº)

Dado que seg. κ esta en la primera columna (por ser menor que 180º), restamos [el último resultado] a seg. λ y lo sumamos a seg. α:

λ' α
252;40º - 8;22º = 244;18º 172;46º + 8;22º = 181;8º
con el argumento [1] 6° columna: "Ecuación de la Anomalía" interpolada (C₆)
α = 181;8º 2;10º
con el argumento [1] 8° columna: "Sexagésimas" interpolada (C₈)
seg. κ = 137;8º 37,9

Dado que el seg. κ está entre la distancia media y el perigeo (positivo en la 8° columna),

con el argumento [1] 7° columna: "Diferencia Aditiva" interpolada (C₇)
181;8º 0;53º

Entonces

Ecuación de la Anomalía (C) Cálculo Resultado = C
C₆ + C₈ * C₇ 2;10º + 0;53º * 0;37,9º 2;43º (cf. Libro X Capítulo 8, el ^ BEX = 5;26ºº)

Dado que α es mayor que 180º (en la 2° columna del argumento), esta ecuación es negativa, por lo tanto

Longitud del Planeta λ Cálculo Resultado = λ
λ' - c 244;18º - 2;43º 241;35º (en el Libro X Capítulo 8 observado: Sagittarius 1 ⅗º).
En λ realizar el siguiente cálculo: ((λ / 360) - Entero(λ / 360)) * 360 y todo quedará reducido a un ángulo de un giro (0º a 360º), aquí 241;35º. La λ debe estar expresada en un número decimal, entonces: a° + b'/60 + c"/3600.

Número de Signo del Zodíaco: Entero(λ * 12 / 360), donde 0 es Aries, 1 es Taurus, ..., 11 es Pisces.
Posición del Sol en el Signo del Zodíaco: ((λ * 12 / 360) - Entero(λ * 12 / 360)) * 30, en (°).
Nota del traductor al español

Fecha y horas calculadas con un programa de computación desde la observación realizada por Ptolomeo (actual Alejandría) de la siguiente:
Oposición de Marte en el día de la observación de Ptolomeo
Fecha Hora Longitud del Sol Longitud de Marte Latitud de Marte Elongación Altura Azimut Magnitud Marte en Carta
30 de Mayo de 139 d. C. (139) 21:00 hs. Gemini 66° 42' 42" Sagittarius 242° 11' 27" -03° 12' 00" E 174° 28' 17" 24° 01' 49" 322° 06' 27" -2,5 Sagittarius
Almagesto Observación 30.05.139 d. C.

Nota del traductor al español: cartas y datos elaborados con mi software de aplicación "M1 Sistema Astronómico"©.

Ejemplo 15 - Calcular la latitud de un planeta

Libro XIII Capítulo 6. Calcular la latitud del planeta, dada la "longitud corregida" (ver en Libro XIII Capítulo 6, nota de Referencia nro. 2: κ₀, la distancia del centro del Epiciclo desde el apogeo) y la "anomalía corregida" (α).

(a) PARA UN PLANETA EXTERIOR:

Ejemplo: Júpiter, a las 6 a.m. del 18 de Epiphi de 507° de la era Nabonassar (cf. Libro XI Capítulo 3, 4 de Septiembre de 240 a. C.).

Dados: κ₀ = 290;40º, α = 72;3º.

En las Tablas para los Cálculos en Latitud

con el argumento [1] en la 5° columna: "sexagésimas" interpolada C₅(ω)
ω = κ₀ - 20º = 270;40º 0;43

Si ω > 270º, entonces

con el argumento [1] en la 3° columna: "límite Norte" interpolada C₃(α)
α = 72;3º 1;21º
Latitud del Planeta β Cálculo Resultado ~ β
β = C₃ * C₅ 1;21º * 0;0,43º ~ +0;1º (al Norte ya que tomamos C₃)

El texto dice que Júpiter ocultó a δ Cancer, que de acuerdo con el catálogo de estrellas (Constelación XXV Estrella nro. 5) esta tiene una longitud de -0 ⅙º. Por consiguiente hay una discrepancia de ⅙º. Bryant Tuckerman en su obra "Planetary, Lunar and Solar Positions" para el 4 de Septiembre de 240 a. C. (-241) da β ≈ +0;14º. Dado que δ Cancer, por cálculos modernos, estuvo exactamente sobre la eclíptica en el momento de la observación, no pudo haber ocurrido una ocultación.

Efeméride calculada con un programa de computación desde la observación realizada por Dionysius (actual Atenas) de la siguiente:
Conjunción de Júpiter con δ Cancer en el día de la observación de Dionysius
Fecha Hora Local AR / Longitud Júpiter DEC / Latitud Júpiter
4 de Septiembre de 240 a. C. (-241) 05:00:00 hs. 06h 32m 28,87s / 97° 25' 40" 23° 45' 26,36" / +0 14' 01"

Nota del traductor al español: datos elaborados con mi software de aplicación "M1 Sistema Astronómico"©.

(b) PARA UN PLANETA INTERIOR:

Ejemplo: Mercurio, a las 6 a.m. del 18 de Choiac de 486° de Nabonassar (cf. Libro IX Capítulo 7, [5] observación, 11/12 de Febrero de 261 a. C.).

Dados: κ₀ = 129;44º, α = 239;15º.

En las Tablas para los Cálculos en Latitud

con el argumento [1] en la 3° columna: "Inclinación" interpolada (C₃)
α = 239;15º 1;27º
con el argumento [1] en la 4° columna: "Oblicuidad" interpolada (C₄)
α = 239;15º 2;29º (*)

(*) Dado que 90º < κ₀ < 270º, adicionamos a estos últimos (2;29º) la 1/10 ma. parte de sí mismo, entonces:

"Oblicuidad" corregida (C₄')
2;29º + 0;15º = 2;44º
con el argumento [1] κ' = κ₀ + 270º en la 5° columna: "Sexagésimas" interpolada C₅(κ')
κ' = 39;44º 45,55
C₃ * C₅ β1
1;27º * 0;45,55º 1;7º

La condición A2 (Libro XIII Capítulo 6) sostiene, dado que κ' < 90º, 90º < α < 270º, entonces β₁ esta al Norte.

con el argumento [1] κ" = κ₀ + 180º en la 5° columna: "Sexagésimas" interpolada C₅(κ")
κ" = 309;44º 38;11
C₄' * C₅' β₂
2;44º * 0;38,11º 1;44º

La condición A2 (Libro XIII Capítulo 6) sostiene, dado que 270° < κ" < 360º, α > 180º, entonces β₂ esta al Sur.

C₅ * C₅' * C₅' β₃
0;45,55º * 0;38,11º * 0;38,11º 0;18º (Este esta al Sur)
β₁ + β₂ + β₃ Latitud del Planeta β
+1;7º - 1;44º - 0;18º -0;55º

El texto dice que Mercurio estuvo a "3 Lunas hacia el Norte" de δ Capricornus. En el catálogo de estrellas (Constelación XXXI Estrella nro. 24) esta tiene una latitud de -2º; entonces de acuerdo a la observación de la latitud de Mercurio, debería ser de -½º, una discrepancia en los cálculos de alrededor de ½º.

Bryant Tuckerman en su obra "Planetary, Lunar and Solar Positions" para el 12 de Febrero de 261 a. C. (-261), 6 a.m., Alejandría, encuentro una latitud de alrededor de +0;8º.

Fecha y horas calculadas con un programa de computación desde la observación realizada en (Alejandría) de la siguiente:
Elongación de Mercurio en el día de la observación
Fecha Hora Longitud del Sol Longitud de Mercurio Latitud de Mercurio Elongación Mercurio en
12 de Febrero de 261 a. C. (-262) 06:00 hs. Aquarius 319° 26' 16" Capricornus 292° 06' 44" +0° 07' 43" E 27° 19' 31" Capricornus

Nota del traductor al español: datos elaborados con mi software de aplicación "M1 Sistema Astronómico"©.

Ejemplo 16 - ¿Como derivó Ptolomeo los movimientos medios para los cinco planetas?

Nuestra discusión solamente concierne a los movimientos medios diarios en anomalía, dado que los movimientos medios Diarios en longitud no son derivados independientemente: para Venus y Mercurio los últimos son idénticos con aquellos del Sol, mientras que para los planetas exteriore son encontrados restando los movimientos medios diarios en anomalía con el movimiento medio diario del Sol.

La respuesta a la pregunta de arriba podría ser provista por aquellos capítulos titulados, "Sobre la Corrección de los Movimientos Periódicos [de cada Planeta]" en el: Libro IX Capítulo 10 para (Mercurio), Libro X Capítulo 4 para (Venus), Libro X Capítulo 9 para (Marte), Libro XI Capítulo 3 para (Júpiter) y Libro XI Capítulo 7 para (Saturno). En cada caso, Ptolomeo determina la posición del planeta en el Epiciclo en una de sus propias observaciones, y también en una observación [mas] "antigua" (aproximadamente 400 años antes). Desde las relaciones del período (Babilonio) establecidas en "Sobre las vueltas periódicas de los cinco planetas", él calcula cuantas revoluciones completas en anomalía han ocurrido entre las dos observaciones; y esto mas el incremento en grados derivado desde las dos observaciones da el movimiento total del planeta en anomalía. Se divide esto último por el intervalo en días y en fracciones de día entre las dos observaciones dando el movimiento medio diario en anomalía, y Ptolomeo lo establece explícitamente en cada caso siendo la base del movimiento medio diario utilizado en las Tablas de los Movimientos Medios en Longitud y en Anomalía de los cinco Planetas.

No obstante si uno, realiza los cálculos implicados en los capítulos de arriba utilizando los números de Ptolomeo, en ningún caso uno no encuentra concordancias con los movimientos medios diarios en anomalía que él actualmente lista [3], como se muestra seguidamente.

Los movimientos medios diarios en anomalía de Ptolomeo (Libro IX Capítulo 3) son:

Libro IX Capítulo 3 (2° Tabla)
Planeta Movimientos Medios Diarios en Anomalía [º/d] Referencia
Saturno 0;57,7,43,41,43,40 [1]
Júpiter 0;54,9,2,46,26,0 [2]
Marte 0;27,41,40,19,20,58 [3]
Venus 0;36,59,25,53,11,28 [4]
Mercurio 3;6,24,6,59,35,50 [5]
Movimientos Medios Diarios en Anomalía [º/d]
Libro - Capítulo Planeta en n Días [d] recorre m Grados [º] Grados recorridos por día [º/d] Referencia
final del Libro XI Capítulo 7 Saturno 36;57,59,45d 35,11,51;27º 0;57,7,43,41,44,18º/d [4] [1a]
final del Libro XI Capítulo 3 Júpiter 38,15,32;57,30d 34,31,45;45º 0;54,9,2,45,8,48º/d [2a]
final del Libro X Capítulo 9 Marte 41,38,1;40d 19,13,1;43º 0;27,41,40,19,28,7º/d [5] [3a]
final del Libro X Capítulo 4 Venus 41,30,52d 25,35,38;25º 0;36,59,25,49,8,51º/d [6] [4a]
final del Libro IX Capítulo 10 Mercurio 40,50,13;33,45d 2,6,52,6;53º 3;6,24,6,58,39,48º/d[7] [5a]

La peor de estas discrepancias, aquella la de Júpiter [8], no produce en 400 años un error mayor a un minuto de arco. Por consiguiente esta claro que Ptolomeo aquí no tuvo ningún motivo para "eludir" (y también que es estrictamente ilegítimo derivar un movimiento medio al sexto lugar fraccionario sexagesimal desde las observaciones separadas por sólo 400 años). Aunque, también sus observaciones están esencialmente de acuerdo con los movimientos medios diarios que él utiliza, esto último no puede ser derivado desde ellas, al menos no por el método que establece [9].

Una posible alternativa es sugerida por el camino de la derivación de los movimientos medios establecidos en el Libro IX Capítulo 3. Allí Ptolomeo las expresa en la forma de "correcciones" para las relaciones de los períodos, por ej. "para Saturno, 57 vueltas en Anomalía corresponden a 59 años tropicales más 1 ¾ días". Estas son reducidas a grados y días, por ej. "Saturno recorre (en anomalía) 20520º en 21551;18d". Es válido suponer que los recientes [valores] son en realidad primarios, por ej. las correcciones de "más 1 ¾ días", etc. son derivadas de las equivalencias entre días y grados en conjunto con el parámetro de "un año tropical es igual a 365;14,48d" [10]. Estas equivalencias pueden ser derivadas de los pares de observaciones en el Libro IX Capítulo 10, etc., combinadas con las relaciones del período Babilónico, tal como en el siguiente [ejemplo].

Ejemplo: Saturno. Por Hiparco, Ptolomeo conoce que la razón del período Babilónico, de 57 vueltas en anomalía toma lugar en 59 años, por ej. este planeta recorre (57 * 360)º en aproximadamente (59 * 365;14,48)d. Él reconoce desde su par de observaciones, que este recorre 35,11,51;27º en 36,57,59;45d. De la última equivalencia pudo derivar una "corrección" para el período de días en la más antigua [observación], multiplicando 36,57,59;45 por (57 * 360)º y dividiendo el resultado por 35,11,51;27. Esto da 5,59,11;17,59,55...d, ó (redondeado a la sexagésima [parte] más cercana) 21551;18d, como en el Libro IX Capítulo 3. Los cálculos correspondientes para los otros planetas son:

Planeta Cálculos Resultado [d] Descripción
Júpiter 38,15,32;57,30 * (65 * 360º) / 34,31,45;45 7,12,7;36,42,19...d ó (redondeado) 25927;37d, como en el Libro IX Capítulo 3
Marte 41,38,1;40 * (37 * 360º) / 19,13,1;43 8,0,57;40,45,50...d ó (redondeado) 228857;41d . En el texto en el Libro IX Capítulo 3 tiene 28857;53,

enmendado por mí a 28857;53 (cf. en este Ejemplo 16 nota de referencia nro. 10 [11])

Venus 41,30;52 * (5 * 360º) / 25,35,38;25 48,39;40,5,19...d ó (redondeado) 2919;40d, como en el Libro IX Capítulo 3 [11]
Mercurio 40,50,13;33,45 * (145 * 360º) / 2,6,52,6;53 4,40,2;24,1...d ó (redondeado) 16802;24d, como en el Libro IX Capítulo 3

De esas "relaciones corregidas del período" los movimientos medios diarios ahora pueden ser derivados:

Planeta Cálculos - Resultado [º/d] Descripción
Saturno 20520º en 21551;18d deriva a 0;57,7,43,41,43,39,41...º/d de acuerdo con [1]
Júpiter 23400º en 25927;37d deriva a 0;54,9,2,42,55,52...º/d en desacuerdo con [2], y peor que en [2a]
Marte 13320º en 28857;41d deriva a 0;27,41,40,18,39,12...º/d en desacuerdo con [3], y peor que en [3a] [12]
Venus 1800º en 2919;40d deriva a 0;36,59,25,53,11,27,36...º/d de acuerdo con [4] [13]
Mercurio 52200º en 16802;24d deriva a 3;6,24,6,59,35,49,55...º/d de acuerdo con [5]

Por lo tanto, este procedimiento puede parecer muy adverso, puede ser utilizado para derivar los movimientos medios de Ptolomeo para Saturno, Venus y Mercurio. Sin embargo, falla con mucha pena para Júpiter y Marte, arrojando dudas sobre la validación de esta explicación en general.

Supongamos, en cambio, que Ptolomeo encuentra sus movimientos medios diarios con algún otro método. Entonces, las equivalencias "Saturno recorre 20520º en 21551;18d", etc., pueden ser derivadas directamente por la división de 20520 por 0;57,7,43,41,43,40, etc. [14], y los pares de las observaciones en el Libro IX Capítulo 10, etc.,simplemente están utilizadas como chequeo. Por ej. Ptolomeo encuentra en las observaciones para Saturno un incremento de 351;27º en 364 años 219 ¾ días.

En las Tablas de los Movimientos Medios en Longitud y en Anomalía de los cinco Planetas uno encuentra 351;26,59º para el intervalo recientemente [calculado]. Los números correspondientes para cada uno de los otros planetas son:

Planeta Período de Tiempo Observado [º] Calculado según las Tablas [º]
Júpiter 377 años 128 días -1 hora 105;45º 105;45,48º
Marte 410 años 231 ⅔ días 61;43º 61;42,55º
Venus 409 años 167 días 338;25º 338;27,48º [15]
Mercurio 402 años 283 días 13 ½ hora 246;53º 246;53,28º

Por lo tanto, en cada caso, las observaciones pueden ser consideradas justificando los movimientos medios utilizados, dentro de la precisión lograda. Sobre esta asunción, Ptolomeo ha derivado sus movimientos medios desde alguna otra fuente, y simplemente no se molestó en cambiarlas sobre la base de las observaciones que dió (sobre esto fue justificado absolutamente, dado que, como se observó anteriormente, un intervalo de 400 años es suficiente para garantizar mas de 4 lugares de fraccionarios sexagesimales; por supuesto no estuvo justificado en ocultárselo a sus lectores).

Esto todavía deja sin explicar las bases de los actuales movimientos medios. Uno podría conjeturar que ellos fueron derivados desde las observaciones realizadas en un período [de tiempo] más corto (por ej. entre Hiparco y Ptolomeo). Es fácil encontrar, por [medio del] análisis de Diofanto, intervalos de tiempo y de longitud verosímiles que generen números exactos, por ej. para Marte un movimiento en 274 años 189;16 días de 128 revoluciones mas 169;32º derivan a un movimiento medio diario de 0;27,41,40,19,20,57,59º/d. Pero en ausencia de cualquier evidencia de tales observaciones de Hiparco, esto sigue siendo un falso cálculo aritmético, y debemos admitir que el origen de esos números se mantiene [aún] desconocido [16], al menos para Júpiter y Marte, y probablemente para todos los planetas.

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Notas de referencia

  1. 1,00 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 1,06 1,07 1,08 1,09 1,10 1,11 1,12 1,13 1,14 1,15 1,16 1,17 1,18 1,19 1,20 1,21 1,22 1,23 1,24 1,25 1,26 1,27 1,28 1,29 1,30 1,31 1,32 1,33 1,34
    Interpolación por Lagrange
    Método de Interpolación por Lagrange. Click en la imagen para ampliar
    Fórmula de interpolación solamente entre 2 pares de valores o puntos (X;Y), (i = 0 y 1 en Fórmula Polinómica de Lagrange).
    α es el argumento a "entrar" en la columna de las X y el "Valor Interpolado" resulta de la columna de las Y.
    Para una interpolación con más de 2 pares de valores (X;Y) verː Método de Interpolación por Lagrange, aunque para los valores que interpola Ptolomeo, con ésta fórmula sencilla y reemplazándola con los 4 valores de una tabla, da el mismo resultado que el del astrónomo.
    Nota del traductor al español.
  2. Ptolomeo (l.c.) da 2 ½ horas equinocciales, que es aproximadamente lo mismo.
  3. Cf. Newton pp. 320-1, 325-7, donde la discrepancia esta casi correctamente descrita, aunque deriva a consecuencias no válidas.
  4. En estos y en subsecuentes cálculos el último lugar esta redondeado sobre la base de un lugar más calculado.
  5. Ptolomeo da un incremento de "⅔ día", implicando 6 a.m. para la primera observación y 10 p.m. para la segunda. Si asumimos (de manera improbable) que la segunda fue realizada a las 10;25 p.m. (c.f. en el Libro X Capítulo 7, nota de referencia nro. 3), y el incremento actualmente es de 16;25 horas, esto podría dar un intervalo igual a 41,38,1;41,2,30d, derivando a 0;27,41,40,18,46,32º/d, que incluso [aún] es más discrepante.
  6. Sino ver en el Libro X Capítulo 4, nota de referencia nro. 9. El intervalo, que Ptolomeo redondea a días enteros, probablemente debería ser de 1 ¼ o 1 ½ horas menos. Estas correcciones derivan a movimientos diarios de 0;36,59,25,51,56,24º y de 0;36,59,25,52,29,19º, de los cuáles el segundo esta mucho más cerca al, pero aún no idéntico con, el movimiento diario tabulado.
  7. Aplicando la ecuación del tiempo de -23 minutos en la observación de Ptolomeo, por ej. tomando el incremento como de 13;7 horas, en cambio de 13 ½, deriva al movimiento diario de 3;6,24,7,3,2º, que incluso es mas discrepante.
  8. Asumiendo que corregimos el intervalo para Venus como en la nota de referencia anterior nro. 6.
  9. En caso de que alguien conjeturase que Ptolomeo calculó los tiempos de las observaciones más precisamente de lo que él establece (con el ej. en las correcciones para la ecuación del tiempo), noto que en orden de tomar el movimiento medio diario de Tolomeo, exacto al sexto lugar fraccionario sexagesimal, directamente desde las observaciones, estos podrían haber sido registrados con una precisión de segundos, lo que es totalmente increíble.
  10. Esto funciona muy bien para todos los planetas excepto para Marte (donde en el texto figura, "28857;53d" siendo ciertamente corrupto: he enmendado "53" en cambio de "43", aunque "42" podría estar en perfecto acuerdo con la hipótesis anterior) y para Mercurio, donde "+1 1/30d" debería ser más bien "+1;3d". Pero, en lugar de enmendar a "1 1/20d" (que es posible), podemos considerar "1 1/30d" simplemente como una pequeña imprecisión.
  11. 11,0 11,1 Tomando un intervalo de 1 ¼ o de 1 ½ horas menos (ver más arriba nota de referencia nro. 6) no hay una diferencia al primer lugar fraccionario sexagesimal.
  12. Tomando la fracción sexagesimal del día como de 42,43 ó 53 (cf. más arriba con la nota de referencia nro. 10) genera un movimiento medio diario progresivamente más pequeño y [también] progresivamente un mayor desacuerdo.
  13. Es interesante que lo aportado se ubica casi exactamente en el medio entre el movimiento medio diario que da Ptolomeo (28 en el último lugar sexagesimal) y aquel por debajo de las secciones para los "años" y los "períodos de 18 años" en las Tablas de los Movimientos Medios en Longitud y en Anomalía de los cinco Planetas (27 en el último lugar sexagesimal, cf. Libro IX Capítulo 3, nota de referencia nro. 12). ¿Es esto un indicio de una revisión incompleta?
  14. Aún aquí Marte es un problema, dado que este método también da 28857;41d (cf. más arriba con la nota de referencia nro. 10).
  15. Para un intervalo de 1 ½ hora menos (cf. más arriba en la nota de referencia nro. 6) uno encuentra en las tablas 338;25,30º, de acuerdo con el resultado de las observaciones.
  16. Una conjetura alternativa es aquella [donde] los movimientos medios incluso fueron derivados de las observaciones dadas, pero aplicando una "corrección" a un movimiento medio anterior (¿la de Hiparco?), por el mismo camino como fue corregido el movimiento medio en la anomalía lunar en el Libro IV Capítulo 7 (y en la latitud lunar en la Inscripción Canóbica). Pero dado que ningún movimiento medio es mencionado por Ptolomeo, los detalles no podrían cambiarse.