Almagesto: Libro XIII - Capítulo 07

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{Sobre las Primeras y Últimas Visibilidades de los cinco Planetas}

[1]

Ahora que hemos tratado el problema básico de las desviaciones en Latitud para los 5 planetas, nos queda el tema suplementario de los requisitos de los teoremas para la primera y la última visibilidad con respecto al Sol. Para ello, como explicamos en el tratado sobre las estrellas fijas (Libro VIII Capítulo 6), resulta que sus distancias desde el Sol a lo largo de la Eclíptica son diversamente desiguales, tanto en la primera como en la última visibilidad, por una serie de razones: la primera de ellas se debe al hecho de que estas [distancias] son de tamaño desigual, la segunda debido a la variación de la inclinación de la eclíptica con el horizonte, y la tercera debido a sus posiciones en latitud.

Si nuevamente imaginamos [ver Fig. 13.17] segmentos de grandes círculos, AB del Horizonte, y GD de la eclíptica [2], y tomamos el punto E como sus intersecciones en la salida o en la puesta, los puntos G y A en dirección Sur (por ej. del Meridiano) [3], y el punto D como el centro del Sol, y dibujamos a través de D y del polo del horizonte otro gran segmento de círculo DBZ, y supongamos el planeta saliendo o poniéndose a lo largo del horizonte AEB (cuando este esta situado sobre la eclíptica, lo hará entonces, obviamente, en E; cuando esta al Norte de la eclíptica, en H, y cuando esta al Sur, en Θ), y eliminando las perpendiculares HK y ΘL sobre la eclíptica desde los puntos H y Θ, nuevamente tendremos entonces [4], en BD, un arco que es igual a la cantidad por la que el Sol debe estar siempre debajo de la Tierra con el fin de que el mismo planeta [dado] sea el primero o el último [en ser] visible [5]. Dado que es dibujado sobre un gran círculo [por ej. perpendicular al horizonte] estos intervalos iguales por debajo de la Tierra deben ser tomados con el fin para que un idéntico efecto de oscurecimiento de los rayos del Sol tome lugar.

Fig. 13.17
Fig. 13.17

Primero, entonces, este arco [BD] es, naturalmente, desigual para los varios planetas, que son desiguales [en tamaño], entonces, incluso si todos los otros factores se mantienen por iguales, el arco de la eclíptica subtendiendo un ángulo recto, por ej. el intervalo correspondiente a ED, debe variar, siendo, obviamente, más pequeño para los planetas más grandes, y más grande para los planetas más pequeños.

Similarmente, incluso si BD se mantiene igual para el mismo planeta [dado], pero el ángulo de inclinación de la eclíptica, BED, varía ya sea porque allí hay un signo zodiacal diferente [cruzando el horizonte] o [si la latitud de] la ubicación es diferente, el arco ED de la distancia [del Sol] nuevamente variará, y llegará [a ser] mayor cuando el ángulo en cuestión disminuya y menor cuando este se incremente.

De la misma manera, si nos unimos a la condición anterior [de que BD es constante], la condición adicional es que la inclinación permanece igual, pero el planeta no se encuentra en la eclíptica, sino que esta tanto al Norte de ella en H o al Sur de ella en Θ, su primera y última visibilidad ya no tendrá lugar a una distancia [desde el Sol] por el arco DE, sino que cuando esté al Norte de la eclíptica, [estará] en la menor distancia DK, y cuando esté al Sur en la mayor distancia DEL.

Por lo tanto, dado que para nuestras investigaciones de los casos en particular, es esencial que primero sea dado, para cada uno de los 5 planetas, el universalmente tamaño aplicable del arco correspondiente a BD, desde las observaciones mas confiables de las fases. Estas podrían haber sido realizadas en verano, alrededor de Cáncer, dado que en aquella estación la atmósfera es delgada y clara, y la inclinación de la eclíptica con el horizonte es simétrica [en el horizonte oriental y occidental] [6].

Fig. 13.18
Fig. 13.18

Encontramos, luego, examinando las observaciones de las [primeras] salidas de este tipo [7], aquellas cerca del comienzo de Cáncer,
Saturno sale [por ej. su primera visibilidad] a una distancia de 14º desde la posición verdadera del Sol
Júpiter a 12 ¾º;
Marte a 14 ½º;
Venus como estrella de la mañana en 5 ⅔º,
y Mercurio como estrella de la tarde en 11 ½º.

Tabla: cuando el horizonte interseca la eclíptica (comienzo de Cáncer):
El Planeta es visible a una distancia del Sol de
Saturno 14°
Júpiter 12 ¾º
Marte 14 ½º
Venus (como estrella de la mañana) 5 ⅔º
Mercurio (como estrella de la tarde) 11 ½º

Con estos datos dados, sea dibujado el diagrama [Fig. 13.18] desde la figura precedente [Fig. 13.17]. (Dado que para este tipo de arcos pequeños no habrá ninguna diferencia si, por [algún] motivo conveniente, sustituimos en nuestros cálculos las cuerdas correspondientes que no sean sensiblemente diferentes a ellos). Sea E el punto de la intersección de la eclíptica con el horizonte en las fases arriba mencionadas, al comienzo de Cáncer, y saliendo para los tres planetas [como] estrellas de la mañana, Saturno, Júpiter y Marte, pero, obviamente, poniéndose para los planetas [como] estrellas de la tarde, Venus y Mercurio. Tomemos como latitud geográfica el paralelo a través de Fenicia (Tiro) (ver Libro II Capítulo 6), donde el día más largo es de 14 ¼ horas, ya que principalmente en este paralelo o en torno a él es donde se han realizado la mayoría y las más fiables de las observaciones de las fases, aquellas de los Babilonios casi sobre él, y aquellas en Grecia y en Egipto [también] alrededor de él [8].

Ahora hallaremos, por medio del procedimiento para los ángulos [entre la eclíptica y el horizonte] demostrado previamente (Libro II Capítulo 11), cuando el comienzo de Cáncer esta saliendo en la latitud en cuestión,

el ^ BED = 103ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº [9],

y por consiguiente la proporción de los lados alrededor del ángulo recto [10],

[BD / BE] ≈ 94 / 75 donde la hipotenusa [DE] = 120p.

Por medio del procedimiento para [hallar] las latitudes [planetarias], encontramos que (considerando justo ahora los 3 planetas exteriores), cuando ellos salen [primero] cerca del principio de Cáncer, esto es, cuando están cerca del apogeo del Epiciclo, entonces a cualquier distancia desde el apogeo no excediendo la 1/12 ma. [(parte) del epiciclo de la circunferencia] [11] sin un sensible error, Saturno y Júpiter están prácticamente sobre la eclíptica, mientras que Marte esta alrededor de ⅕º al Norte de la eclíptica [12].

Por lo tanto sus distancias desde el Sol a lo largo de la eclíptica estarán representadas por DE para Saturno y Júpiter, y por DK para Marte, dado que este esta al Norte [de la eclíptica] por [la distancia] KH, [correspondiente] a la cantidad de 12'.

Y dado que KH / KE = 94 / 75,
KE ≈ 10' en las mismas unidades.
Pero DK está dado para Marte como de 14 ½º,
entonces, por suma, DE = 14;40º.
Y para Saturno este es de 14º
y para Júpiter 12 ¾º.
Entonces, dado que ED / DB = 120 / 94,

Tomemos, aproximadamente, para DB, [siendo] el arco del gran círculo dibujado a través de los polos del horizonte,

para el Planeta el valor de DB es igual a
Saturno 11°
Júpiter 10º
y Marte 11 ½º

Similarmente, para Venus y Mercurio, cuando el comienzo de Cáncer se [esta] poniendo, este forma el mismo ángulo e inclinación con el horizonte como antes; y se nos da que, cuando esos planetas tienen sus primeras visibilidades como estrella de la mañana en esta parte de la eclíptica, la distancia de Venus desde la posición verdadera del Sol es de 5 ⅔º, mientras la de Mercurio es de 11 ½º. Por lo tanto, en sus [primeras] salidas, la posición verdadera del Sol tendrá una longitud de

Planeta Longitud Verdadera del Sol
Venus Gemini 24 ⅓°
y Mercurio Gemini 18 ½º

mientras la longitud media del Sol estará alrededor de

Planeta Longitud Media del Sol
Venus Gemini 25°
y Mercurio Gemini 19º

Por lo tanto los planetas tendrán estas posiciones en longitud media. Y cuando, con esas longitudes [medias], los planetas tienen posiciones aparentes al comienzo de Cáncer, encontramos que sus distancias desde el apogeo son de alrededor de

Planeta Distancias desde sus Apogeos
Venus 14°
y Mercurio 32º

(Este tipo de cálculo puede ser llevado a cabo por medio de los teoremas que hemos establecido anteriormente acerca de sus anomalías) [13]. De acuerdo, a esas posiciones, encontramos que

Fig. 13.19
Fig. 13.19
Planeta Posición en ° desde la Eclíptica
Venus esta alrededor de 1° al Norte
y Mercurio alrededor de 1 ⅔º al Norte. [14]

Obviamente, estas son las cantidades de KH [en la Fig. 13.19].

Entonces, dado que KH / EK = 94 / 75,
y 94 / 75 ≈ 1 / ¾
y 94 / 75 ≈ 1 ⅔ / 1 ⅓,
EK = ¾º para Venus
EK = 1 ⅓º para Mercurio.

Y en esas mismas unidades, por hipótesis, la distancia aparente del planeta desde el Sol,

DK = 5 ⅔º para Venus
DK = 11 ½º para Mercurio.
Por lo tanto, por suma, DEK ≈ 6 ⅖º para Venus
Por lo tanto, por suma, DEK ≈ 12 ⅚º para Mercurio.

Entonces, dado que ED / BD es nuevamente 120 / 94,
y la proporción es alrededor de la misma como 6 ⅖ / 5

y 12 ⅚ / 10,

tomamos para DB, el tamaño de la distancia normal,

Planeta El tamaño de la Distancia normal DB
Venus
y para Mercurio 10º

Lo que se ha requerido para examinar.

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Notas de referencia

  1. Ver HAMA 234-8, Pedersen 386-8, con la corrección en Toomer [3], 145.
  2. Leer  (en los manuscritos D y Ar) en cambio de  ("el gran círculo de la eclíptica") en H490,18. Corregido por Manitius.
  3. Gerardo de Cremona agrega "y los puntos Θ y H en dirección al Sur y al Norte", que le da mejor sentido.
  4. "Nuevamente" se refiere, como mas atrás, a la situación similar con las estrellas fijas, Libro VIII Capítulo 6.
  5. Nota del traductor al español: El arco visual (del latín, arcus visionis) especifica la distancia mínima entre el Sol y otro objeto celeste, que es necesario para observar su salida o su puesta en posición helíaca (orto helíaco) y salida acrónica (el cuerpo celeste sale cuando el Sol se pone). Por definición, es la profundidad del Sol medida perpendicularmente debajo del horizonte en el momento en que el objeto celeste llega al horizonte. El arco visual tiene diferentes valores para cada objeto celeste y para diferentes lugares de observación, ya que diferentes factores, como la magnitud aparente de la estrella, su desaparición y las condiciones atmosféricas influyen en el arco visual. Por ejemplo, la contaminación del aire y la contaminación lumínica en el área de una gran ciudad pueden aumentar considerablemente el arco visual necesario para percibir una estrella. Una fórmula de aproximación de uso frecuente para el arcus visionis es: 10,5° + 1,4° * Magnitud aparente del objeto celeste.
    Fuente Sehungsbogen.
  6. Esta es la interpretación de Neugebauer por "simétrica" (HAMA 235), y esta confirmada al final de este capítulo, "cuando el comienzo de Cáncer se esta poniendo, este forma el mismo ángulo e inclinación con horizonte como antes [en la salida]".
  7. Al menos para Saturno, difícilmente estas podrían haber sido las observaciones de Ptolomeo, tal como el requerimiento de una longitud cercana a Cancer 0º nos lleva a alrededor del año 120, mucho antes que cualquiera de las observaciones dadas por Ptolomeo. Esto esta confirmado por las referencias a los Babilonios.
  8. De acuerdo a la Geografía Babilonia tiene una latitud de 35º (que corresponde cercanamente a la proporción diurna del día babilónico estandard M / m = 3 / 2). De hecho su latitud es de alrededor de 32 ½º. El paralelo con M = 14 ¼ horas (y φ = 33;18º) esta a medio camino entre la "Clímata" del Bajo Egipto (14 horas y 30;22º) y la de Rodas (14 ½ horas y 36º). Ver Libro II Capítulo 6.
  9. De como Ptolomeo obtuvo este ángulo sigue siendo un misterio: si realizó una interpolación en las tablas Libro II Capítulo 13 (cf. HAMA 236) o cálculos directos, debería haber encontrado (en números redondos) 53º = 106ºº. Ver HAMA 245-50 acerca del problema general de las ángulos entre la eclíptica con el horizonte [descritos] en este capítulo.
  10. El texto tiene "ángulos rectos", "hipotenusas", etc. porque es verdadero para cada planeta.
  11. En el apogeo del epiciclo el planeta esta en conjunción media. Entonces Ptolomeo está considerando las elongaciones desde la posición media del Sol de hasta un signo zodiacal.
  12. Ver HAMA 235, 237.
  13. Desde las Tablas de la Anomalías, dadas, para Venus seg. λ = 85º, seg. α = 14º y el apogeo en Taurus 25º, luego seg. κ = 30º, derivando a una Ecuación del Centro de 1;11º, luego α = 15;11º, que derivan a una ecuación de la anomalía de +6;6 ½º, entonces λ = 85º - 1;11º + 6;6 ½º = 89;56 ½º ≈ Cancer 0º. Para Mercurio, con seg. λ = 79º, seg. α = 32º y el apogeo en Libra 10º, seg. κ = 249º, derivan a una ecuación del centro de 2;53º, entonces α = 29;7º, que derivan a una ecuación de la anomalía de 8;16º, por consiguiente λ = 79º + 2;53º = 90;9º ≈ Cancer 0º.
  14. Ver HAMA 237-8 para los cálculos que confirman esto.