Almagesto: Libro X - Capítulo 04

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{Sobre la corrección de los Movimientos Periódicos del Planeta [Venus]}[editar]

[1]

Tal es, entonces, el método por el cual determinamos el tipo de Hipótesis [para Venus] y las razones de sus Anomalías. Para los movimientos periódicos y las épocas del planeta, una vez más [como para Mercurio], tomamos dos observaciones confiables, [una] entre las nuestras, y [una] de las antiguas.

[1] En el segundo año de Antonino Pío, 29/30 de Tybi [V] en el calendario Egipcio [15/16 de Diciembre de 138], observamos el planeta Venus, luego de su Máxima Elongación como estrella de la mañana, utilizando el Astrolabio y observándolo con respecto a Spica: su Longitud Aparente fue de Scorpius 6 ½º. En aquel instante éste estuvo también entre y sobre una línea recta [trazada] con las estrellas de más al Norte en la frente de Scorpius y el centro aparente de la Luna, y estuvo hacia delante del centro de la Luna 1 ½ veces la cantidad que éste [(Venus)] estuvo hacia atrás de las estrellas de más al Norte en la frente [(de Scorpius)]. Ahora la [última] estrella fija tuvo en aquel instante, de acuerdo a nuestras coordenadas, una Longitud de Scorpius 6;20º, y estuvo 1;20º al Norte de la Eclíptica [2]. El instante fue 4 ¾ horas equinocciales después de la medianoche, dado que el Sol estuvo alrededor de Sagittarius 23°, y el segundo grado de Virgo (ej. Virgo 1º - 2º) estuvo culminando de acuerdo con el Astrolabio. En aquel momento las posiciones fueron las siguientes [3] :

Longitud Media del Sol Sagittarius 22;9º
Longitud Media de la Luna Scorpius 11;24º
Anomalía de la Luna, contada desde el apogeo 87;30º
el [Argumento de] la Latitud de la Luna, desde el límite Norte 12;22º
Por consiguiente, la Posición Verdadera del centro de la Luna Scorpius 5;45º
[Latitud de la Luna] 5º al Norte de la Eclíptica
Posición aparente [de la Luna] en Alejandría en Longitud Scorpius 6;45º
[Posición Aparente de la Luna en Latitud] 4;40º al Norte de la Eclíptica.

Desde esas consideraciones también, entonces,

la Longitud de Venus fue de Scorpius 6;30º
(Latitud de Venus) y éste estuvo 2;40º al Norte de la Eclíptica

Con los datos anteriores, sea ABGDE [Fig. 10.3] el diámetro a través del Apogeo. Sea A representando el punto en Taurus 25º, B el punto alrededor del cual el Epiciclo se mueve uniformemente, G el centro de la Excéntrica transportando el centro del Epiciclo, y D el centro de la Eclíptica. Dado que la [Posición Media del] Sol tuvo una Longitud de Sagittarius 22;9º en la observación, la Posición Media del Epiciclo es de (Sagittarius 22;9° - Scorpius 25° =) 27;9° hacia atrás desde el Perigeo [ubicado] en E. Así, sea el centro del Epiciclo situado en Z, y dibujar el Epiciclo HΘK en Z como centro. Unir DZH, GZ y BZΘ, y eliminar las perpendiculares GL y DM desde G y D hasta BZ.

Fig. 10.3
Fig. 10.3

Sea el planeta ubicado en el punto K, unir DK y ZK, y eliminar la perpendicular ZN [hacia DK]. [Ahora] sea el problema, encontrar el arco ΘK, que es la distancia del planeta desde el Apogeo del Epiciclo Θ [en la observación].

Ahora dado que

^ EBZ = 27;9º donde 4 ángulos rectos = 360º
^ EBZ = 54;18ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº,
En el círculo alrededor del triángulo rectángulo BGL
Arco GL = 54;18º
y Arco BL = 125;42º (suplementario).
Por lo tanto las cuerdas correspondientes
GL = 54;46p donde la hipotenusa BG = 120p
y BL = 106;47p donde la hipotenusa BG = 120p.
Por lo tanto donde BG = 1;15p y GZ, el radio de la Excéntrica, es 60p.,
GL = 0;34p
y BL = 1;7p.
Y dado que ZG² - GL² = ZL²,
ZL ≈ 60p en las mismas unidades.
Y dado que BG = GD
ML = LB [= 1;7p],
y DM = 2 * GL.

Por lo tanto, por sustracción [de ML desde ZL], ZM = 58;53p
y DM = 1;8p en las mismas unidades.
Por lo tanto la hipotenusa ZD [= (ZM² + DM²) ^ 0,5] ≈ 58;54p.
Por lo tanto, donde ZD = 120p, DM = 2;18p,
Y, en el círculo alrededor del triángulo rectángulo DZM,
Arco DM = 2;12º.
En consecuencia ^ BZD = 2;12ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº,

y, por adición [de ^ EBZ y ^ BZD], ^ EDZ = 56;30ºº en las mismas unidades.
Y, dado que el planeta estuvo en 18;30º hacia adelante del Perigeo en E (por ej. Scorpius 25º) en la observación,

^ EDK = 18;30º donde 4 ángulos rectos = 360º
^ EDK = 37ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº.
Por lo tanto, por adición [de ^ EDK hacia ^ EDZ],
^ KDZ = 93;30ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº,
y, en el círculo alrededor del triángulo rectángulo DZN,
Arco ZN = 93;30º.
Por lo tanto su cuerda, ZN = 87;25p donde ZD = 120p.
Entonces, donde ZD = 58;54p, por ej. donde el radio del Epiciclo ZK es de 43;10p.
ZN = 42;54p.
En consecuencia ZN = 119;18p donde la hipotenusa ZK = 120p,

y, en el círculo alrededor del triángulo rectángulo ZKN,

Arco ZN = 167;38º [4]. En consecuencia el ^ ZKD = 167;38ºº donde ^ ZDK ha sido ya encontrado como de 93;30ºº.
Entonces, por adición, el ^ KZH = 261;8ºº.

Y demostramos que ^ BZD (= ^ HZΘ) = 2;12ºº en las mismas unidades.

Por lo tanto, por sustracción, ^ ΘZK = 258;56ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº
Por lo tanto, por sustracción, ^ ΘZK = 129;28º donde 4 ángulos rectos = 360º.

Entonces el planeta Venus, en aquel momento en cuestión, estuvo en la distancia anterior, de 129;28º, hacia adelante del Apogeo del Epiciclo Θ, y, [por lo tanto], en el movimiento [sobre el Epiciclo] asignado a él en las Hipótesis, [a saber] hacia atrás, éste tuvo la diferencia anterior de una revolución, [es decir de] 230;32º, que fue lo que tuvimos que determinar.

[2] Desde las observaciones [más] antiguas seleccionamos una la cuál es registrada por Timocares del siguiente modo. En el decimotercer año de Ptolomeo II Filadelfo, 17/18 de Mesore [XII] en el calendario Egipcio [11/12 de Octubre de -271], en la duodécima hora, Venus fue visto exactamente haber sobrepasado [5] la estrella opuesta Vindemiatrix. Que es la estrella que, en nuestras descripciones (catálogo XXVII 6), es la siguiente a la estrella en la punta del ala Sur de Virgo, y que tuvo una Longitud de Virgo 8 ¼º en el primer año de Antonino Pío. Ahora, el año de observación es el 476 to. de [la era de] Nabonassar, mientras el primer año de Antonino Pío está a 884 [años] desde [la era de] Nabonassar [6]; hasta los 408 años del intervalo correspondiente al movimiento de las estrellas fijas y de los Apogeos alrededor de 4 1/12º. Por lo tanto está claro que la Longitud de Venus fue de Virgo 4 1/6º, y la Longitud del Perigeo de su Excéntrica Scorpius 20 11/12º. Y aquí también Venus pasó su Máxima Elongación como estrella de la mañana; 4 días después de la observación anterior, 21/22 de Mesore, como uno puede deducir desde lo que Timocares dice, su Longitud fue de Virgo 8 5/6º de acuerdo a nuestras coordenadas; y la Posición Media del Sol estuvo en Libra 17;3º en la primer observación y en Libra 20;59º en la siguiente: por lo tanto su Elongación en la primer observación llegó a los 42;53º y en la siguiente 42;9º.

Con lo de arriba como dato, sea dibujada allí [Fig. 10.4] una figura similar [a la precedente], pero que tenga el Epiciclo hacia adelante del Perigeo, dado que la Longitud Media del Epiciclo es de Libra 17;3º, mientras la Longitud del Perigeo es Scorpius 20;55º. Ahora por esta razón

^ EBZ [= Scorpius 20;55º - Libra 17;3º] = 33;52º donde 4 ángulos rectos = 360º
^ EBZ [= Scorpius 20;55º - Libra 17;3º] = 67;44ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº.
Por lo tanto, en el círculo alrededor del triángulo rectángulo BGL,
Arco GL = 67;44º
y Arco BL = 112;16º (suplementario).
Por lo tanto las cuerdas correspondientes
GL = 66;52p donde la hipotenusa BG = 120p
y BL = 99;38p donde la hipotenusa BG = 120p.
Por lo tanto donde BG = 1;15p y el radio de la Excéntrica, GZ = 60p,
GL = 0;42p
y BL = 1;2p.

Fig. 10.4
Fig. 10.4

Y dado que ZG² - GL² = ZL²,
ZL ≈ 60p.
Y por el mismo razonamiento [como el de antes]
BL = LM
y DM = 2 * GL.

Por lo tanto, por sustracción [de LM desde ZL], ZM = 58;58p

y DM = 1;24p en las mismas unidades.
Por lo tanto la hipotenusa ZD [= (ZM² + DM²) ^ 0,5] ≈ 58;59p.
Por lo tanto, donde ZD = 120p, DM = 2;51p,

y, en el círculo alrededor del triángulo rectángulo ZDM,

Arco DM = 2;44º
En consecuencia ^ BZD = 2;44ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº.

Y, por adición [de ^ BZD y ^ EBZ], ^ EDZ = 70;28ºº en las mismas unidades.

Y la distancia del planeta hacia adelante del Perigeo,
^ EDK [= Scorpius 20;55º - Virgo 4;10º] = 76;45º donde 4 ángulos rectos = 360º
^ EDK [= Scorpius 20;55º - Virgo 4;10º] = 153;30ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº.
Por lo tanto, por sustracción, ^ ZDK = 83;2ºº en las mismas unidades,

y, en el círculo alrededor del triángulo rectángulo DZN,

Arco ZN = 83;2º.
Entonces su cuerda ZN = 79;33p, donde la hipotenusa DZ = 120p,
y donde DZ = 58;59p, por ej. donde el radio del Epiciclo ZK = 43;10p,
ZN = 39;7p.
Por lo tanto, en el círculo alrededor del triángulo rectángulo ZKN,
Donde la hipotenusa ZK = 120p
ZN = 108;45p
y Arco ZN ≈ 130º.
En consecuencia el ^ DKZ = 130ºº donde el ^ ZDK ya ha sido encontrado como de 83;2ºº.
Y, por adición, el ^ ΘZK = 213;2ºº en las mismas unidades.
Pero demostramos que el ^ BZD (= ^ HZΘ) = 2;44ºº en las mismas unidades.

Por lo tanto, por adición, el ^ HZK = 215;46ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº
Por lo tanto, por adición, el ^ HZK = 107;53º donde 4 ángulos rectos = 360º [7] .

En aquel momento, entonces, la distancia del planeta Venus, [en el sentido de la rotación] hacia atrás, desde el Apogeo del Epiciclo H tuvo una diferencia de una revolución, 252;7º, lo cual fue lo que tuvimos que determinar.

Ahora su distancia desde el Apogeo del Epiciclo, en el mismo sentido, en el momento de nuestra observación fue de 230;32º. Y el intervalo entre las dos observaciones comprenden 409 años Egipcios y alrededor 167 días, y 255 revoluciones completas en Anomalía (en 8 años Egipcios generan aproximadamente 5 revoluciones, entonces 408 años generan 255 revoluciones, mientras el año restante [(o sobrante)] más los días adicionales no completan el período de una revolución). Entonces hemos demostrado que en 409 años Egipcios 167 días el planeta Venus recorre en el Epiciclo, mas allá de 255 revoluciones completas en Anomalía [8], 338;25º, que es la cantidad por la que la posición en nuestra observación excede la anterior [(inicial)]. Y aproximadamente el mismo incremento resulta desde las tablas de Movimientos Medios las cuales establecimos anteriormente. Nuestra corrección de los Movimientos Medios fue derivada desde el incremento sobre las revoluciones completas que hemos encontrado [según lo anterior]: el intervalo de tiempo fue reducido a días, y las revoluciones más el incremento a grados. Así que, cuando el total en grados es dividido por el total en días, resulta el Movimiento Medio Diario en Anomalía de Venus que hemos establecido previamente [9].

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Notas de referencia[editar]

  1. Sobre los capítulos 4 y 5 ver HAMA 156-8.
  2. Ver catálogo XXIX 1.
    Fecha y horas calculadas con un programa de computación desde la observación realizada por Ptolomeo (actual Alejandría) de la siguiente:
    Elongación de Venus en el día de la observación de Ptolomeo
    Fecha Hora Longitud del Sol Longitud de Venus Latitud de Venus Elongación Venus en Carta
    16 de Diciembre de 138 d. C. (138) 04:30 hs. Sagittarius 263° 40' 30" Scorpius 217° 20' 56" +03° 01' 08" W 46° 23' 34" Scorpius
    Almagesto Observación 16.12.138 d. C.

    Hora Salida del Sol (16/12/138): 06:56:30 hs. Azimut: 297° 16'.
    En el amanecer Venus se lo puede observar ya a simple vista desde 15 minutos antes de la salida del Sol.

    Venus el 16/12/138 04:30 hs. (Alejandría)
    Magnitud Fracción Iluminada Altura Azimut
    -4,3 56,8 % 14° 30' 51" 293° 03' 50"

    En ese instante, Venus se encontraba a: 1° 47' (NNW) de Nu Scorpius (Jabbah, “la corona en la frente”), a 1° 50' (NNE) de Beta Scorpius (Acrab, "el alacrán"), a 4° 52' (NNE) de Delta Scorpius (Dschubba, "la delantera de la frente") y a 39° 44' 32" (ENE) de Alfa Virgo (Spica, "la espiga").

    La máxima elongación de Venus ocurrió el 2 de Diciembre de 138 d. C. a las 16:35:26 hora local y con una distancia al Oeste del Sol de 46° 56' 12".

    Posición de la Luna en el día de la observación de Ptolomeo
    Fecha Hora Longitud de la Luna Latitud de la Luna Fase - Edad Fracción Iluminada Luna en Distancia a Venus Carta
    16 de Diciembre de 138 d. C. (138) 04:30 hs. Scorpius 215° 53' 53" +05° 09' 33" Hacia Nueva - 25 días 7 hs. 17 % Scorpius 1° 57' 28" (NNE)
    Almagesto Observación 16.12.138 d. C.

    Nota del traductor al español: cartas y datos elaborados con mi software de aplicación "M1 Sistema Astronómico".

  3. Los siguientes datos están calculados precisamente, no para las 04:45 hs., sino para las 04:30 hs. dado que la Ecuación del Tiempo para una Longitud Solar de Scorpius 23º es de alrededor de -17 minutos, la corrección (cuidadosa o precavida) de Ptolomeo está justificada. Para las 04:45 hs. de tiempo local el punto culminante se encuentra un poco más de Virgo 1º, de acuerdo con el texto.
  4. Aquí el error de redondeo acumulado es considerable. ZN debería ser alrededor de 119;16p mas bien que 119;18p. Entonces, dado que ésta cuerda está más cerca del máximo de 120p, el error resultante en el arco es mayor: un cálculo más preciso podría darnos ZN = 167;22º, resultando un cambio no insignificante de 8' en el resultado final (230;40º).
  5. Muchas traducciones interpretan ésta palabra () como "ocultado". Cálculos modernos muestran que una ocultación no ocurrió, ya que Venus pasó alrededor de 12' al Sur de η Virgo. Sin embargo, dado que otra observación donde una no-ocultación podría haber ocurrido se describe de forma inequívoca como una ocultación (ver Libro XI Capítulo 3 nota de referencia nro. 1), y [la palabra]  denota ocultaciones por la Luna en H28,15, H31,5, H32,7 y H33,9, probablemente la misma es referida aquí.
    Fecha y horas calculadas con un programa de computación desde la observación realizada por Timocares (actual Alejandría) de la siguiente:
    Elongación de Venus en el día de la observación de Timocares
    Fecha Hora Longitud del Sol Longitud de Venus Latitud de Venus Elongación Venus en Carta
    12 de Octubre de 272 a. C. (-272) 05:40 hs. Libra 194° 54' 46" Virgo 153° 20' 51" +01° 12' 20" W 41° 34' 05" Virgo
    Almagesto Observación 12.10.272 a. C.

    Hora Puesta del Sol (11/10/-272): 17:39:20 hs. Azimut: 83° 47'.
    Hora Salida del Sol (12/10/-272): 05:59:50 hs. Azimut: 276° 27'.
    En el amanecer Venus se lo puede observar ya a simple vista desde 15 minutos antes de la salida del Sol.

    Venus el 12/10/-272 05:40 hs. (Alejandría)
    Magnitud Fracción Iluminada Altura Azimut
    -4,1 70,3 % 36° 16' 17" 278° 53' 26"

    En ese instante, Venus se encontraba a: 12' 13,17" (SSE) de Eta Virgo (Zaniah, “el rincón”) y a 15° 51' (SW) de Epsilon Virgo (Vindemiatrix, "la vendimiadora").

    La máxima elongación de Venus ocurrió el 27 de Agosto de 272 a. C. (-272) a las 15:31:52 hora local y con una distancia al Oeste del Sol de 46° 13' 26".

    Nota del traductor al español: carta y datos elaborados con mi software de aplicación "M1 Sistema Astronómico".

  6. Leer '   en los manuscritos D, G y Ar) en H311, 4-5, en cambio de  ' [lectura] de los otros manuscritos. El primer año de Antonino Pío es el 885 to. de la era Nabonassar, pero dado que ésta observación está [realizada] hacia el final del año Egipcio, Ptolomeo correctamente contó hasta el final del año 884 [de la era] Nabonassar.
  7. Aquí el error de redondeo asciende a 4' (uno calcula 107;49º).
  8. Leer  (en los manuscritos D y G) en cambio de  en H314,22. Corregido por Manitius.
  9. Ver en Cálculos, Ejemplo 16 acerca de la derivación actual del Movimiento Medio de Venus. El incremento de Ptolomeo en el Movimiento Medio, [o sea de] 338;25º, es el movimiento desde los 252;7º (anteriores) hasta los 230;32º (en éste capítulo al final de la observación [1]). Los errores de redondeo acumulados en éstas figuras (ver más arriba notas de referencias 4 y 7) dan lugar a una diferencia en el incremento de +4', que tendría un efecto en el Movimiento Medio resultante. Además no está claro que intervalo en días está utilizando actualmente Ptolomeo. Él da el número redondo de 409 años 167 días. Pero el instante de la observación de Ptolomeo está dado a las 04:45 hs., y la de Timocares "en la 12 ma. hora" (interpretada como 06:00 hs. en el Libro X Capítulo 5, ver debajo de ese capítulo la nota de referencia nro. 1). Entonces el intervalo debería ser de 1 ¼ de hora menos que el de arriba, o, si uno corrige la Ecuación del Tiempo en la observación de Ptolomeo, por 1 ½ hora menos (cf. ver más arriba la nota de referencia nro. 3).