Almagesto: Libro I - Capítulo 16

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{Sobre los Tiempos de Salida en la Esfera Recta}

[1]

Nuestra próxima tarea es demostrar cómo calcular la longitud de un arco del Ecuador determinado por un círculo dibujado a través de los polos del Ecuador y de un punto dado sobre la Eclíptica. De esta manera podemos hallar cuanto tarda, en grados de tiempo Equinocciales, una sección dada de la eclíptica en cruzar el meridiano en algún punto sobre la Tierra y en el Horizonte en la esfera recta (dado que solamente en esta situación el horizonte pasa a través de los polos del Ecuador).

Fig. 1.16
Fig. 1.16

Repetir la figura previa [ver Fig. 1.15]. Nuevamente sea dado el arco EH de la eclíptica, primero como de 30º. Tenemos que encontrar el arco EΘ del Ecuador.

Según el mismo argumento como el precedente,

Cuerda arco 2 * ZB / Cuerda arco 2 * BA = (Cuerda arco 2 * ZH / Cuerda arco 2 * HΘ) * (Cuerda arco 2 * ΘE / Cuerda arco 2 * EA). [M.T.II] Configuración de Menelao.

Pero arco 2 * ZB = 132;17,20º,
entonces Cuerda arco 2 * ZB = 109;44,53p.
Y arco 2 * BA = 47;42,40º,
entonces Cuerda arco 2 * BA = 48;31,55p.
Nuevamente Arco 2 * ZH = 156;40,1º [180º - arco 2 * ΘH, ver Fig. 1.15]
entonces Cuerda arco 2 * ZH = 117;31,15p,
y arco 2 * HΘ = 23;19,59º,
entonces Cuerda arco 2 * HΘ = 24;15,57p.

En consecuencia

Cuerda arco ΘE / Cuerda arco 2 * EA = (109;44,53 / 48;31,55) / (117;31,15 / 24;15,57) = 54;52,26 / 117;31,15 = 56;1,53 / 120).

Pero Cuerda arco 2 * EA = 180º, entonces Cuerda arco 2 * EA = 120p.
Por lo tanto Cuerda arco 2 * ΘE = 56;1,53p [2].
Entonces arco 2 * ΘE ≈ 55;40 y arco ΘE ≈ 27;50º.

Nuevamente, sea el arco EH tomado como de 60º. Luego las otras magnitudes se mantendrán sin cambios, pero

y arco 2 * ZH = 138;59,42º, [180º - arco 2 * ΘH, ver Fig. 1.15]
entonces Cuerda arco 2 * ZH = 112;23,56p.
Y arco 2 * ΘH = 41;0,18º.
entonces Cuerda arco 2 * ΘH = 42;1,48p.

Por lo tanto

Cuerda arco 2 * ΘE / Cuerda arco 2 * EA = (109;44,53 / 48;31,55) / (112;23,56 / 42;1,48) = 95;2,40 / 112;23,56 = 101;28,20 / 120.

Pero Cuerda arco 2 * EA = 120p.
En consecuencia Cuerda arco 2 * ΘE = 101;28,20p
por lo tanto arco 2 * ΘE ≈ 115;28º.
en consecuencia arco ΘE ≈ 57;44º.

Por lo tanto ha sido demostrado que el primer signo de la Eclíptica, contado desde el Equinoccio [3], sale de la manera demostrada anteriormente [por ej. en la esfera recta] en el mismo instante que los 27;50º del Ecuador; y que el segundo signo sale con 29;54º (dado que la suma de ambos arcos fue demostrada ser de 57;44º). Es obvio que el tercer signo saldrá en la esfera recta en el mismo instante con 32;16º (que es el complemento [de 57;44º]), dado que cada cuadrante completo de la Eclíptica [4] sale en el mismo momento como el cuadrante correspondiente del Ecuador definido por los círculos dibujados a través de los polos del Ecuador.

Siguiendo el mismo método como se ha demostrado arriba, calculamos el arco del Ecuador que sale en el mismo instante como [lo hacen] cada sección de 10 grados de la Eclíptica. (Los tiempos de salida [verdaderos] de los arcos menores a 10º no son notablemente diferentes de aquellos derivados por una interpolación lineal [de aquellos arcos de 10º]). Luego vamos a determinar todos estos [arcos] también, para poder calcular convenientemente el tiempo que toma cada arco, como dijimos, en cruzar el meridiano en cualquier punto sobre la Tierra y en el horizonte en la esfera recta. Comenzamos con el arco de 10º empezando [tanto en uno o como en el otro] punto equinoccial.

Grados de Tiempo [°]
La Primera sección de 10° sale en 9;10°
La Segunda sección de 10° sale en 9;15°
La Tercera sección de 10° sale en 9;25°
Para el primer signo la suma es de 27;50°
Grados de Tiempo [°]
La Cuarta sección de 10° sale en 9;40°
La Quinta sección de 10° sale en 9;58°
La Sexta sección de 10° sale en 10;16°
Para el segundo signo la suma es de 29;54°
Grados de Tiempo [°]
La Séptima sección de 10° sale en 10;34°
La Octava sección de 10° sale en 10;47°
La Novena sección de 10° sale en 10;55°
Para el tercer signo, terminando tanto en un solsticio o en el otro, la suma es de 32;16°

La suma para el cuadrante en su totalidad es de 90º, como debería ser [5].

Inmediatamente es obvio que el orden [de los tiempos de salida] es el mismo para los otros [tres] cuadrantes, dado que las mismas relaciones se mantienen en cada uno [(de los cuadrantes)] en la esfera recta, que es cuando el Ecuador no tiene inclinación con el Horizonte [por ej. es vertical a él].

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Notas de referencia

  1. Ver HAMA 31-2, Pedersen 97-9.
  2. El texto de Heiberg, aquí y justamente arriba, da 56;1,25 (κε en cambio de νγ). La lectura correcta está dada en el manuscrito D y en el manuscrito Is.
  3. Por consideraciones de simetría, no importa por cual Equinoccio se comience.
  4. Un “cuadrante” aquí es entendido comenzar desde un Equinoccio o desde un Solsticio.
  5. Estos datos están repetidos en forma tabular en la tabla de los tiempos de salida, Libro II Capítulo 8.