Almagesto: Libro I - Capítulo 14

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{Sobre los arcos entre el Ecuador y la Eclíptica}

[1]

Habiendo establecido el teorema preliminar [del capítulo anterior], seguidamente, demostraremos primero todas las cantidades de los arcos que propondremos determinar [2].

[Ver Fig. 1.15] Sea ABGD el círculo a través de ambos polos, el del Ecuador y el de la Eclíptica, sea AEG el semicírculo representando el Ecuador, y BED representando la Eclíptica, y asignamos el punto E [como] la intersección de los dos [semicírculos] en el Equinoccio de primavera, entonces B está [ubicado] en el Solsticio de invierno y D en el Solsticio de verano. Sobre el arco ABG tomamos el polo del ecuador AEG: siendo el punto Z. Cortar el arco EH sobre la eclíptica: supongamos que sea de 30º, y dibujamos a través de Z y de H un arco de un gran círculo ZHΘ. Nuestro problema, obviamente, es determinar HΘ. Tomemos como garantía tanto aquí y en general para todas tales demostraciones (para evitar nuestras repeticiones en cada ocasión), de que cuando hablamos sobre las longitudes de los arcos o las cuerdas en términos de “grados” o de “partes” queremos decir (para los arcos) aquellos grados en los que la circunferencia de un gran círculo contiene 360º, y (para las cuerdas) aquellas partes en las que el diámetro del círculo contiene 120 [partes].

Ahora dado que, en la figura, los dos grandes círculos ZΘ y EB son dibujados hasta encontrarse con los dos arcos de círculo, AZ y AE, y se intersecan uno con el otro en H,

Fig. 1.15
Fig. 1.15
Cuerda arco 2 * ZA / Cuerda arco 2 * AB = (Cuerda arco 2 * ΘZ / Cuerda arco 2 * ΘH) * (Cuerda arco 2 * HE / Cuerda arco 2 * EB) [M.T.I.], Configuración de Menelao.

Pero arco 2 * ZA = 180º, entonces Cuerda arco 2 * ZA = 120p,
y arco 2 * AB = 47;42,40º (de acuerdo con la relación 11 / 83, con el que estamos de acuerdo, [Fig. D]).
Entonces Cuerda arco 2 * AB = 48;31,55p.
nuevamente, arco 2 * HE = 60º, entonces cuerda arco 2 * HE = 60p,
y arco 2 * EB = 180º, entonces cuerda arco 2 * EB = 120p.

En consecuencia

Cuerda arco 2 * ZΘ / Cuerda arco 2 * ΘH = (120 / 48;31,55) / (60 / 120) = 120 / 24;15,57.

Y arco 2 * ZΘ = 180º, entonces Cuerda arco 2 ZΘ = 120p.
Por lo tanto Cuerda arco 2 * ΘH = 24;15,57p.
En consecuencia arco 2 * ΘH = 23;19,59º,
y arco ΘH ≈ 11;40º.

Nuevamente, sea el arco EH tomado de 60º. Luego las otras magnitudes permanecerán sin cambios, pero

arco 2 * EH = 120º, entonces cuerda arco 2 * EH = 103;55,23p.

En consecuencia

Cuerda arco 2 * ZΘ / Cuerda arco 2 * ΘH = (120 / 48;31,55) / (103;55,23 / 120) = 120 / 42;1,48.

Pero cuerda arco 2 * ZΘ = 120p.
Por lo tanto Cuerda arco 2 * ΘH = 42;1,48p.
en consecuencia arco 2 * ΘH = 41;0,18º,
y arco ΘH = 20;30,9º.

Lo que se ha requerido para examinar.

Del mismo modo calcularemos las longitudes de [los otros] arcos individuales, y pondremos una tabla dando para cada grado del cuadrante el arco correspondiente de aquellos calculados [más] arriba. La tabla es la siguiente:

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Notas de referencia

  1. Ver HAMA 30-1, Pedersen 95-6.
  2. Para una referencia ir al Libro I Capítulo 13, Fig. 1.8.