Almagesto: Libro I - Capítulo 10

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{Sobre la longitud (tamaño) de las Cuerdas}[editar]

[1]

Entonces, para comodidad del lector, expondremos subsecuentemente una tabla con sus valores, dividiendo la circunferencia en 360 partes, y tabulando las cuerdas subtendidas por los arcos a intervalos de medio grado, expresando cada uno como un número de las partes en un sistema donde el diámetro [(de tal circunferencia)] está dividido dentro de 120 partes. [Adoptaremos esta norma] dada la conveniencia aritmética [2], que se harán evidentes a partir de los cálculos presentes. Pero primero, demostraremos cómo uno puede encargarse de los cálculos con sus cantidades por medio de un método rápido y simple, utilizando algunos teoremas, en lo posible, el mismo conjunto para todo. Hacemos esto para que podamos no sólo tener las cantidades de las cuerdas tabuladas sin ser chequeadas, sino también poder verificarlas fácilmente calculándolas por un estricto método geométrico. En general utilizaremos el sistema sexagesimal para nuestros cálculos aritméticos, debido a la dificultad con el sistema fraccional [convencional]. Dado que siempre apuntamos hacia una buena aproximación, solamente manejaremos multiplicaciones y divisiones tan lejos como para alcanzar un resultado que difiera de la precisión lograda por los sentidos por una cantidad insignificante.

Primero, entonces, [ver Fig. 1.1] sea aquí un semicírculo ABG con centro en D y con un diámetro ADG. Dibujemos la perpendicular DB hasta AG desde D. Donde DG es bisecada [dividida en dos] en E, uniendo EB, y hacer EZ igual a EB. Unir ZB.

Fig. 1.1
Fig. 1.1

Digo que ZD es el lado del decágono [regular], y BZ el lado del pentágono [regular].

[Demostración:] Dado que la línea recta DG es bisecada [dividida en dos] en E, y una línea recta DZ es adyacente a ella,

GZ * ZD + ED² = EZ² [3].
pero EZ² = BE² (EB = ZE),
y EB² = ED² + DB².
por consiguiente GZ * ZD + ED² = ED² + DB².
por consiguiente GZ * ZD = DB² (Substrayendo ED², generalmente).
por consiguiente GZ * ZD = DG²

Entonces ZG ha sido cortada en extremo y media proporción sobre D [4].

Dado que el lado del hexágono y el lado del decágono, mientras están inscriptos ambos en un mismo círculo, forman el extremo y la proporción media de la misma línea recta [5], y dado que GD, siendo un radio, representa el lado del hexágono [6], DZ es igual al lado del decágono.

Similarmente, ya que el cuadrado del lado del pentágono es igual a la suma de los cuadrados de los lados del hexágono y del decágono cuando todos están inscriptos en el mismo círculo [7], y en el triángulo rectángulo BDZ, el cuadrado de BZ es igual a la suma de los cuadrados en BD, que es el lado del hexágono, y en DZ, que es el lado del decágono, se deduce que BZ es igual al lado del pentágono.

Ya que, como he dicho, establecimos el diámetro del círculo como de 120 partes, entonces, se deduce de lo de arriba [expresado] que:

DE = 30p (DE mitad del radio)
y DE² = 900p
BD = 60p (BD un radio)
y BD² = 3600p
y EZ² = EB² = 4500p, la suma [de DE² y BD²]
por consiguiente EZ ≈ 67;4,55p

Y por sustracción [de DE de EZ], DZ = 37;4,55p. Entonces el lado del decágono, que subtiende 36º, tiene 37;4,55p donde el diámetro tiene 120p. Nuevamente, dado que

DZ = 37;4,55p,
DZ² = 1375;4,15p; [8]
y DB² = 3600p,
entonces DB² = DZ²
DB² = 4975;4,15p.
por consiguiente BZ ≈ 70;32,3p

Por lo tanto el lado del pentágono, que subtiende 72º, contiene 70;32,3p donde el diámetro tiene 120p.

Inmediatamente es obvio que el lado del hexágono [inscrito], que subtiende 90º, es igual, cuando es su cuadrado, al doble del cuadrado del radio, y dado que el lado del triángulo [inscrito], que subtiende 120º, es igual, cuando es su cuadrado, a tres veces el cuadrado del radio, y el cuadrado del radio es de 3600p, calculamos que el cuadrado del lado de la escuadra, es de 7200p y el cuadrado del lado del triángulo es de 10800p.

por consiguiente Cuerda 90º ≈ 84;51,10p (*)
Cuerda 120º ≈ 103;55,23p (**)
(*) y (**) donde el diámetro es de 120p.

Luego podemos considerar las cuerdas de arriba como establecidas individualmente por los sencillos procedimientos de arriba.

Será inmediatamente [9] obvio si cualquier cuerda es dada, la cuerda del arco suplementario es dada de una forma sencilla, dado que la suma de sus cuadrados es igual al cuadrado del diámetro. Por ejemplo la cuerda de 36º se demostró ser de 37;4,55p, y el cuadrado de éste es de 1375;4,15p, y el cuadrado del diámetro es 14400p, el cuadrado de la cuerda del arco suplementario (que es de 144º) será la diferencia, a saber de 13024;55,45p, y entonces

Cuerda 144º ≈ 114;7;37p.

Similarmente [será] para las otras dos cuerdas [de los suplementarios].

Seguidamente demostraremos, cómo las cuerdas individuales restantes pueden ser derivadas desde las [cuerdas] de arriba [expresadas], primero de todo se expondrá un teorema que es extremadamente útil para el presente tema.

[Ver Fig. 1.2.] Sea aquí un círculo con un cuadrilátero arbitrario ABGD, inscripto en él. Unir AG y BD.

Fig. 1.2
Fig. 1.2

Debemos probar que

AG * BD = AB * DG + AD * BG [10].
[Demostración:] Hacer ^ ABE = ^ DBG.

Luego, si sumamos el ^ común EBD

^ ABD = ^ EBG.

Pero,

^ BDA = ^ BGE

Dado que ellos, también, subtienden el mismo segmento.

por consiguiente ∆ ABD ||| ∆ BGE.
por consiguiente BG / GE = BD / DA.
por consiguiente BG * AD = BD * GE.
Nuevamente, ya que
^ ABE = ^ DBG,
y ^ BAE = ^ BDG,
∆ ABE ||| ∆ BGD.
por consiguiente BA / AE = BD / DG.
por consiguiente BA * DG = BD * AE.

Pero fue demostrado que

BG * AD = BD * GE.

Por lo tanto, por adición,

AG * BD = AB * DG + AD * BG.

Lo que se ha requerido para examinar.

Habiendo establecido este teorema preliminar, dibujamos el semicírculo ABGD [Fig. 1.3], sobre el diámetro AD, y dibujamos dos cuerdas, AB y AG, desde A, cada una dada en longitud en términos de un diámetro de 120p. Unir BG.

Digo que BG también es dada.

[Demostración:] Unir BD, GD.

Fig. 1.3
Fig. 1.3

Luego, claramente, BD y GD también serán dados, dado que ellas son cuerdas de [arcos] suplementarios [de los arcos de las cuerdas dadas, AB y AG].

Ahora, ABGD es un cuadrilátero cíclico,

AB * GD + AD * BG = AG * BD.

Pero

AG * BD y AB * GD están dados.
por consiguiente AD * BG está dado por sustracción.
y AD es el diámetro.

Por lo tanto la cuerda BG es dada.

Y hemos demostrado que, si son dados dos arcos y las correspondientes cuerdas, la cuerda de la diferencia entre los dos arcos también será dada.

Es obvio que por medio de éste teorema, estaremos completamente capacitados para entrar [en la tabla] por un buen número de cuerdas, derivadas de la diferencia entre las cuerdas calculadas individualmente, y notablemente la cuerda de 12º, ya que tenemos aquellas de 60º y de 72º.

Consideremos ahora el problema de encontrar la cuerda del arco siendo la mitad de alguna cuerda dada [11].

Sea [Fig. 1.4.] ABG un semicírculo con diámetro AG. Sea GB una cuerda dada. Bisecar [dividir en dos] el arco GB en D, unir AB, AD, BD, DG, y eliminar la perpendicular DZ desde D sobre AG.

Fig. 1.4
Fig. 1.4

Y digo que

ZG = ½ * (AG – AB).
[Demostración:] Sea AE = AB, y unir DE.
Luego [en los triángulos ABD, ADE]
AB = AE, y AD es común, los dos pares de lados
AB, AD y AE, AD son iguales.
Además ^ BAD = ^ EAD.
por consiguiente Base BD = Base DE.
pero BD = DG [por construcción]
por consiguiente DG = DE.

Entonces, en el triángulo isósceles DEG, la perpendicular DZ ha sido dibujada desde el ápex hasta la base

EZ = ZG.
Pero EG = [AG – AE =] AG – AB.
por consiguiente ZG = ½ * (AG – AB).

Ahora, si la cuerda del arco BG es dada, la cuerda suplementaria AB es [también] inmediatamente dada.

Por lo tanto ZG, que es ½ * (AG – AB), es también dada. Pero, luego, en el triángulo rectángulo AGD, la perpendicular DZ ha sido dibujada,

∆ ADG ||| ∆ DGZ (ambos ^ rectos) [12]
por consiguiente AG / GD = GD / GZ.
por consiguiente AG * GZ = GD².
pero AG * GZ esta dada

Por lo tanto GD² es dado, y entonces es también dada la cuerda GD, que subtiende medio arco de [del arco de la cuerda dada] BG, que también es dada.

También, por medio de éste teorema, un gran número de cuerdas serán derivadas por la división [de los arcos de] las cuerdas previamente determinadas, y notablemente, desde la cuerda de 12º, las cuerdas de 6º, 3º, 1 ½º y ¾º. Por cálculo hallamos la cuerda de 1 ½º ser aproximadamente de 1;34;15p donde el diámetro es 120p, y la cuerda de ¾º será aproximadamente de 0;47,8p en las mismas unidades.

Nuevamente, sea aquí [ver Fig. 1.5.] un círculo ABGD con diámetro AD, con centro en Z. Desde A sean cortados sucesivamente dos arcos dados, AB, BG. Unir la cuerda correspondiente AB, BG; [que] también serán dadas.

Fig. 1.5
Fig. 1.5

Digo, que si unimos AG, esta [cuerda] también será dada.

[Demostración:] dibujar a través de B el diámetro BZE, y unir BD, DG, GE, DE. Inmediatamente es claro, que desde BG uno puede derivar GE, y desde AB uno puede derivar BD y DE [todas las cuerdas del arco suplementario]. Por un argumento similar al precedente [Fig. 1.3], dado que BGDE [que] es un cuadrilátero cíclico [inscripto en el círculo], en el cual BD y GE son diagonales, el producto de las diagonales será igual a la suma de los productos de los lados opuestos [por ej. BD * GE = BG * DE + BE * GD]. Por consiguiente, dado que (BD * GE) y (BG * DE) son ambos dados, (BE * GD) también es dado. Pero BE también es dado, siendo [igual a un] diámetro: por lo tanto la parte restante [13], GD, también será dada, y por lo tanto GA, la [cuerda] del suplementario.

Por lo tanto, si dos arcos y las correspondientes cuerdas son dadas, la cuerda correspondiente a la suma de estos arcos será dada por medio de éste teorema.

Es obvio que combinando [en este sentido] la cuerda de ½º con todas las cuerdas que ya hemos dado, y entonces, calcular las cuerdas sucesivas, estaríamos capacitados para entrar [en la tabla] todas las cuerdas [de los arcos] las cuales duplicadas son divisibles por tres [por ej. múltiplos de 1 ½º]. Luego las únicas cuerdas restantes a ser determinadas serían aquellas [que están] entre los intervalos de 1 ½º, dos en cada intervalo, dado que nuestra tabla está confeccionada a intervalos de ½º. Por consiguiente, si encontramos la cuerda de ½º grado, ésta nos permitirá completar [la tabla con] todas las cuerdas intermedias restantes, encontrando la suma o la diferencia [de ½º] de las cuerdas dadas a ambos finales de los intervalos [de ½º]. Ahora, si una cuerda, por ej. la cuerda de 1 ½º, está dada, la cuerda correspondiente a un arco el cual es una tercera [parte] de la previa, uno no la puede hallar por métodos geométricos [14]. (Si esto fuera posible, inmediatamente deberíamos tener la cuerda de ½º). Por consiguiente primeramente derivaremos la cuerda de 1º desde aquellas de 1 ½° ¾°. Haremos esto estableciendo el lema que, aunque éste en general no pueda determinar exactamente los tamaños [longitudes de las cuerdas], en caso de tales cantidades muy pequeñas puedan determinarse con un insignificante pequeño error.

Digo, entonces, que si dos cuerdas distintas son dadas, la razón de la [cuerda] mayor dividido la [cuerda] menor es menor que la razón del arco sobre la [cuerda] mayor dividido el arco sobre la [cuerda] menor.

[Ver Fig. 1.6.] Sea aquí él círculo ABGD, en el cual son dibujadas dos cuerdas distintas, la más pequeña AB y la más grande BG.

Fig. 1.6
Fig. 1.6

Digo que

GB / BA < arco BG / arco BA.
[Demostración:] Sea el ^ ABG bisecado [dividido en dos] por la [cuerda] BD.
Unir AEG, AD y GD.
Entonces, dado que el ^ ABG es bisecado por la cuerda BED,
GD = AD
y GE > EA [15].

Entonces eliminar la perpendicular DZ desde D sobre AEG.

Luego, dado que AD > ED y ED > DZ, un círculo dibujado con centro en D con radio DE cortará AD y pasa mas allá DZ [(hasta Θ)]. Sea aquí dibujado HE, y sea DZ prolongada [hasta] Θ. Ahora, dado que el sector DEΘ es mayor que el triángulo DEZ, y el triángulo DEA [que] es mayor que el sector DEH,

el triángulo DEZ / triángulo DEA < sector DE / sector DEH.
Pero ∆ DEZ / ∆ DEA = EZ / EA [16]
y elsector DE / sector DEH = < ZDE / < EDA.
por consiguiente ZE / EA < ^ ZDE / ^ EDA.
Entonces, “componendo”,
por consiguiente ZE / EA < ^ ZDA / ^ ADE.
Luego, el “dividendo”,
GE / EA < ^ GDE / ^ EDA
pero GE / EA = GB / BA [17]
y ^ GDB / ^ BDA = arco GB / arco BA.
por consiguiente GB / BA < arco GB / arco BA.

Habiendo establecido esto, dibujemos [Fig. 1.7.] un círculo ABG, y en él dos cuerdas, AB y AG. Supongamos, primero, que AB es la cuerda de ¾º y AG la cuerda de 1º. Luego, dado que

Fig. 1.7
Fig. 1.7

AG / BA < arco AG / arco AB
y arco AG = (4 * arco AB) / 3
GA < (4 * AB) / 3.

Pero, en unidades en las que el diámetro contiene 120p, demostramos que

AB = 0;47,8p
por consiguiente GA < 1;2,50p (para 1;2,50 ≈ (4/3) * 0;47,8).

Nuevamente, usando la misma figura, sea aquí establecida AB como cuerda de 1º y AG como cuerda de 1 ½º. Por el mismo argumento, ya que

arco AG = (3 * arco AB) / 2
GA < (3 * BA) / 2.

Pero en unidades en las que el diámetro contiene 120p, demostramos que

AG = 1;34,15p
por consiguiente AB > 1;2,50p (para 1;34,15 = (3/2) * 1;2,50).

Por lo tanto, dado que la cuerda de 1º fue demostrada ser tanto más grande y menor que la misma cantidad, podemos establecerla como aproximadamente de 1;2,50p donde el diámetro es de 120p. Por las proposiciones precedentes podemos también establecer la cuerda de ½º, que hallamos ser de aproximadamente 0;31,25p. Los intervalos restantes pueden [ahora] ser completados, como hemos dicho [Fig. 1.6]. Por ejemplo, en el primer [1 ½º] intervalo podemos calcular la cuerda de 2º utilizando la fórmula de adición para la cuerda de ½º aplicada a la cuerda de 1½º, mientras la cuerda de 2½º es dada utilizando la fórmula de la diferencia para [la cuerda de ½º] aplicada a la cuerda de 3º. Similarmente para las cuerdas restantes.

Tal es, pienso, luego, [que] éste es el camino más fácil para intentar el cálculo de las cuerdas. Aunque, como he dicho, en orden que podamos tener las presentes cantidades de las cuerdas dispuestas fácilmente para cada ocasión, tendremos [para este propósito] las tablas de más abajo. Ellas están confeccionadas en tablas de 45 líneas [18] [cada una], para dar una apariencia simétrica. La primer columna [de cada tabla] contendrá los arcos tabulados en intervalos de ½º, la segunda corresponde a las cuerdas en unidades en las que el diámetro contiene 120p, y la tercera la trigésima parte del incremento en la cuerda para cada intervalo. Entonces [esta última columna] es, lo que podemos tener como incremento promedio correspondiente a un minuto [de arco], que no será sensiblemente diferente del incremento verdadero [para cada minuto]. Por lo tanto podemos calcular fácilmente la cantidad de las cuerdas correspondientes a fracciones que se ubican entre los intervalos [tabulados] de medio grado.

Es fácil ver esto si suponemos alguna corrupción [error] del escriba en uno de los valores de las cuerdas de la tabla, los mismos teoremas que ya tenemos nos permitirán verificarlos y corregirlos fácilmente, tanto, tomando la cuerda de doble arco [de aquella] cuerda en cuestión, o de la diferencia con alguna otra cuerda dada, o de la cuerda del suplementario.

El diseño de las tablas es el siguiente.

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Notas de referencia[editar]

  1. Sobre los cálculos de Ptolomeo en su tabla de cuerdas, ver HAMA 21-4, Pedersen, 56-63.
  2. La conveniencia principal es que el radio sea de 60 partes, o 1;0 en el sistema sexagesimal. Por lo tanto, en algunos casos, estos [valores] se parecen a la tabla del Seno con R = 1.
  3. Euclides II 6.
  4. Euclides VI define 3 estados en la que “una línea recta ha sido cortada en extremo y de razón media cuando, en su totalidad, la línea total es al segmento más grande, entonces es la mayor a la menor”; por ej. aquí ZG / DG = DG / ZD.
  5. Euclides XIII 9.
  6. Euclides IV 15.
  7. Euclides XIII 10.
  8. La lectura 14 (para la 15) ocurre como una variante marginal, en el manuscrito griego, aquí y en lugares relacionados, y en el Arábigo, en el manuscrito T, y [también] fue adoptado en la traducción de al-Hajjaj. Éste es el más preciso, pero no hace una diferencia en el resultado final.
  9. Leer  (en el manuscrito D) en cambio de  en H35,18.
  10. Esta proposición, comúnmente conocida como el “Teorema de Ptolomeo”, no es de hecho declarado antes que él. Resulta incierto si alguna de las primeras tablas de las cuerdas (por ej. la de Menelao) utilizaron alguna base geométrica mas allá del “Teorema del ángulo medio” (Ver nota de referencia siguiente y Toomer [2] 18-19).
  11. También la fórmula de Ptolomeo para la cuerda del “ángulo mitad” puede ser derivada fácilmente de su teorema general (ver Toomer [2] 16-17), él introduce en cambio otro teorema, que se remonta a Arquímedes (ver HAMA 23-4). Es una inferencia válida de que fuese así ya que el último teorema fue la única base de las primeras tablas de cuerdas, notablemente la de Hiparco, como he argumentado, en Toomer [2] 18-19.
  12. Euclides VI 8.
  13. Leer  (en el manuscrito A) en H42,1, en cambio de  (“por sustracción”).
  14. Esto es válido: el problema de hallar la cuerda α desde la cuerda dada 3α puede ser reducida a una ecuación del tipo cúbica, la cual no pueda ser resuelta (excepto para unos pocos valores de α) por la geometría de Euclides (utilizando la línea recta y el círculo). Ver Toomer [3] 138.
  15. Derivado de Euclides VI 3, que establece que la bisectriz del ángulo sobre el ápex de un triángulo divide la base en proporción a dos lados incluyendo el ángulo. Entonces, BG > BA, GE > EA.
  16. Euclides VI 1.
  17. Euclides VI 3.
  18. 45 líneas es el tamaño standard de las tablas en todo el Almagesto. Probablemente es elegido para conformar algunas alturas estándares de los rollos de papiro (sobre los papiros estándares ver Lewis, “Papyrus in Classical Antiquity”, 36-9, 56, en Plinio NH 13, 78). Varias consecuencias surgen de esto, notablemente el intervalo de 18 años en las tablas de movimiento medio (ver Libro III Capítulo 2 nota de referencia nro. 28).