Almagesto: Libro V - Capítulo 05

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{Sobre la “dirección” del Epiciclo de la Luna}[editar]

[1]

En lo que concierne al fenómeno en las Sizigias y en las posiciones en la Cuadratura de la Luna, la discusión precedente podría proporcionar una explicación completa de las Hipótesis que aclare los círculos de la Luna descritos anteriormente. Pero de las observaciones individuales tomadas de las distancias de la Luna [desde el Sol] cuando ésta tiene la forma de una hoz o “Gibosa” (que ocurre mientras el Epiciclo está entre el Apogeo y el Perigeo de la Excéntrica), hallamos que la Luna tiene una característica peculiar asociada con la dirección [2] [con] la que el Epiciclo apunta [(se dirige)]. En general, cada Epiciclo debe poseer un simple punto inmutable definiendo la posición de una vuelta de revolución sobre tal Epiciclo. Llamamos a ese punto el “Apogeo Medio”, y lo establecemos como principio desde el cuál contamos el movimiento sobre el Epiciclo. Por lo tanto el punto Z sobre la figura [del capítulo] anterior (Fig 5.3.) [se determina] como punto. Es definido para la posición del Epiciclo en el Apogeo o Perigeo de su Excéntrica, por [medio] de la línea recta dibujada a través de todos los centros [de la Eclíptica, Excéntrica y Epiciclo] (aquí DEG). Ahora, en todas las otras hipótesis [involucrando el Epiciclo sobre la Excéntrica], no observamos absolutamente nada contrario en los fenómenos que se deducirán del siguiente [modelo]: en otras posiciones del Epiciclo [fuera del Apogeo o Perigeo de la Excéntrica], el diámetro del Epiciclo a través del Apogeo de arriba, por ej. ZGH, [éste] siempre mantiene la misma posición relativa a la línea recta que transporta el centro del Epiciclo alrededor de un Movimiento Uniforme (aquí EG), y [por lo tanto] (como uno apropiadamente podría pensar) apunta siempre hacia el centro de revolución, sobre el cuál, además, ángulos iguales [generados por un] Movimiento Uniforme son atravesados en tiempos iguales. Sin embargo, en el caso de la Luna, el fenómeno no le permite a uno suponer que, para las posiciones del Epiciclo entre A y G, el diámetro ZH apunta hacia E, el centro de revolución, y mantiene la misma posición relativa hacia EG. De hecho encontramos que la dirección en la que el [el diámetro ZH] apunta es un punto único, inmutable sobre el diámetro AG, pero éste punto no está tanto en E, el centro de la Eclíptica, ni [tampoco] en D, el centro de la Excéntrica, sino que [está] en un punto remoto desde E hasta el Perigeo de la Excéntrica por una cantidad igual a DE. Nuevamente demostraremos que esto es así, mediante el establecimiento de dos entre numerosas observaciones [relevantes], que son particularmente adecuadas para ilustrar nuestro objetivo, ya que el Epiciclo en éstas observaciones se encontraban a mitad de camino a distancias [entre el Apogeo y Perigeo de la Excéntrica], y la Luna [estuvo] cerca del Apogeo o Perigeo del Epiciclo; [donde] en estas situaciones ocurren los mayores efectos de las direcciones [del diámetro del Epiciclo] arriba [descritas].

Ahora Hiparco registra [primero] que observó el Sol y la Luna con sus instrumentos [3] en Rodas, en el 197 mo. año desde la muerte de Alejandro, 11 de Pharmouthi [VIII] en el calendario Eegipcio [2 de Mayo de –126], en el inicio de la segunda hora. Dice que mientras el Sol fue avistado en Taurus 7 ¾º, la posición aparente del centro de la Luna estuvo en Pisces 21 ⅔º, y su verdadera posición en Pisces 21 ⅓ + 1/8º [21;27 ½º] [4]. Por lo tanto en el momento en cuestión, la distancia de la Posición Verdadera de la Luna desde Posición Verdadera del Sol fue alrededor de 313;42º, [contando] hacia la parte trasera [de los signos]. Ahora la observación fue realizada en el inicio de la segunda hora, cerca de 5 horas de estación (que en Rodas corresponden cerca de 5 ⅔ horas equinocciales para esa fecha) antes del mediodía en el 11 er. [día de Pharmouthi]. Entonces el período de tiempo desde nuestra época [(el primer año de la era de Nabonassar)] hasta [el día] de la observación hay

620 años Egipcios 219 días 18 1/3 horas equinocciales recontadas simplemente
620 años Egipcios 219 días 18 horas equinocciales recontadas en forma precisa.

Para éste instante encontramos:

la Posición Media del Sol en Taurus 6;41º
la Posición Verdadera del Sol en Taurus 7;45º
la Posición Media de la Luna en Pisces 22;13º en longitud
la Posición Media de la Luna en 185;30º desde el Apogeo Medio del Epiciclo en Anomalía.

Por lo tanto la distancia de la Posición Media de la Luna desde Posición Verdadera del Sol fue de 314;28º.

Con estos datos, sea ABG [Fig. 5.4.] el círculo Excéntrico de la Luna con centro en D y diámetro ADG, sobre el cual E representa el centro de la Eclíptica. Con centro en B dibujar ZHΘ, el Epiciclo de la Luna. Sea el sentido del movimiento del Epiciclo hacia atrás desde B hasta A, y sea [también] el sentido del movimiento de la Luna sobre el epiciclo desde Z hasta H y [luego hasta] Θ. Unir DB y EΘBZ.

Fig. 5.4
Fig. 5.4

Ahora en un mes [sinódico] medio ocurren dos revoluciones del Epiciclo sobre la Excéntrica, y en la situación en cuestión, la Elongación de la Posición Media de la Luna desde la Posición Media del Sol fue de 315;32º. Entonces si duplicamos lo último y sustraemos los [360º de] un círculo, tendremos la Elongación del Epiciclo en aquel momento, desde el Apogeo de la Excéntrica, [contando] hacia atrás: siendo [igual a] 271;4º.

en consecuencia ^ AEB = 88;56º (restantes [cuando 271;4º son sustraídos] de 360º).

Entonces eliminamos la perpendicular DK desde D sobre [hasta] EB.

en consecuencia ^ DEB = 88;56º donde 4 ángulos rectos = 360º
en consecuencia ^ DEB = 177;52ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº.

Por lo tanto en el círculo alrededor del triángulo rectángulo DEK,

Arco DK = 177;52º
y Arco EK = 2;8º (suplementario).

Por lo tanto las correspondientes cuerdas

DK = 119;59p donde la hipotenusa DE = 120p.
y EK = 2;14p donde la hipotenusa DE = 120p.

Por lo tanto donde DE, la distancia entre los centros, es de 10;19p y DB, el radio de la Excéntrica, es de 49;41p,

DK = 10;19p también,
y EK = 0;12p. Pero BK² = DB² – DK².
en consecuencia BK = 148;36p en las mismas unidades,
y, por adición, BE [= BK + EK] = 48;48p.

Nuevamente, dado que la distancia de la Luna media desde el Sol verdadero fue hallada ser de 314;28º, y la distancia de la Luna verdadera [desde la Posición Verdadera del Sol] fue observada de 313;42º, la Ecuación de la Anomalía es de –0;46º.

Ahora, la Posición Media de la Luna es vista a lo largo de la línea EB. Entonces, sea localizada la Luna en H (dado que está cerca del Perigeo), unir EH y BH, y eliminar la perpendicular BL desde B hasta [la línea] prolongada EH. Entonces, dado que el ^ BEL contiene la Ecuación de la Luna de la Anomalía,

^ BEL = 0;46º donde 4 ángulos rectos = 360º
^ BEL = 1;32ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº.

Por lo tanto, en el círculo alrededor del triángulo rectángulo EBL,

Arco BL = 1;32º
y la correspondiente cuerda
BL = 1;36p donde la hipotenusa EB = 120p.
Por lo tanto, donde BE = 48;48p y BH el radio del Epiciclo es de 5;15p,
BL = 0;39p.
Por lo tanto donde BH, el radio del Epiciclo es de 120p,
BL = 14;52p
y, en el triángulo rectángulo BHL [inscripto] en el círculo,
Arco BL = 14;14º
en consecuencia ^ BHL = 14;14ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº,
y, por sustracción [del ^ BEL], ^ EBH = 12;42ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº,
y, por sustracción [del ^ BEL], ^ EBH = 6;21º donde 4 ángulos rectos = 360º.

Entonces, estos [6;21º], es el tamaño del arco HΘ del Epiciclo, que comprende la distancia desde la Luna hasta el Perigeo Verdadero [del Epiciclo].

Pero la distancia de la Luna desde el Apogeo Medio en el instante de la observación fue de 185;30º [Fig. 5.4], es claro que el Perigeo Medio está adelante de la Luna, por ej. del punto H. Sea el punto M [el perigeo medio], dibujar la línea BMN, y eliminar la perpendicular EX hacia ella desde el punto E.

En consecuencia, como fue observado,

Arco ΘH = 6;21º,

y el arco HM, [que es] la distancia desde el Perigeo, es dado como de 5;30º,

por adición, Arco ΘM = 11;51º.
entonces ^ EBX = 11;51º donde 4 ángulos rectos = 360º
entonces ^ EBX = 23;42ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº.

Por lo tanto, en el círculo alrededor del triángulo rectángulo BEX,

Arco EX = 23;42º
y EX = 24;39p donde la hipotenusa BE = 120p.
por lo tanto, donde
BE = 48;48
EX = 10;2p.

Nuevamente, dado que [Fig. 5.4]

^ AEB = 177;52ºº donde 2 ángulos rectos = 360º,
y ^ EBN = 23;42ºº donde 2 ángulos rectos = 360º,
por sustracción, ^ ENB = 154;10ºº.

Por lo tanto, en el círculo alrededor del triángulo rectángulo ENX,

Arco EX = 154;10º
y EX = 116;58p donde la hipotenusa EN = 120p.
Por lo tanto donde EX = 10;2p y DE, la distancia entre los centros, es de 10;19p,
EN = 10;18p.

Por lo tanto [el radio del Epiciclo] BM a través del Perigeo Medio, apunta en una dirección tal que, cuando se prolonga hasta N, ésta corta una línea EN que es casi igual a DE.

Similarmente, en orden de demostrar que tomamos el mismo resultado sobre los lados opuestos de la Excéntrica y del Epiciclo, nuevamente hemos seleccionado desde las distancias [entre el Sol y la Luna] observadas por Hiparco, como ya mencionamos, en Rodas, [segundo] la observación que [él] hizo en el mismo año [como el de la precedente], siendo el 197 mo. año desde la muerte de Alejandro, 17 de Payni [X] en el calendario Egipcio [7 de Julio de –126], a las 9 ⅓ horas. Dice que mientras el Sol fue visto en Cancer 10 9/10º la posición aparente de la Luna estuvo en Leo 29º. Y ésta fue su posición verdadera también; en Rodas, cerca del final de Leo, alrededor de una hora pasado el meridiano [de Rodas], la Luna no tiene una Paralaje Longitudinal [5]. Por lo tanto la distancia de la Posición Verdadera de la Luna desde la Posición Verdadera del Sol en el instante en cuestión fue de 48;6º hacia atrás [con respecto de los signos]. Ahora, dado que la observación ocurrió 3 ⅓ de horas de estación después del mediodía en el 17 mo. [año] de Payni, que corresponden en esa misma fecha en Rodas cerca de 4 horas equinocciales, el período de tiempo desde nuestra época (desde el primer año de la era de Nabonassar) hasta [el día] de la observación hay

620 años Egipcios 286 días 4 horas equinocciales recontadas simplemente
620 años Egipcios 286 días 3 2/3 horas equinocciales recontadas en forma precisa.

Para este instante encontramos:

la Posición Media del Sol en Cancer 12;5º
la Posición Verdadera del Sol en Cancer 10;40º
la Posición Media de la Luna en Leo 27;20º en longitud

(por lo tanto la distancia de la Posición Media de la Luna desde la Posición Verdadera del Sol fue de 46;40º) la Posición Media de la Luna en los 333;12º en Anomalía desde el Apogeo del Epiciclo [6].

Con estos datos, [Fig. 5.5.] sea ABG el círculo Excéntrico de la Luna con centro en D y de diámetro ADG, en el que el centro del Epiciclo está representado por el punto E. Alrededor del punto B dibujar ZHΘ, el epiciclo de la Luna, y unir DB [con] EΘBZ.

Fig. 5.5
Fig. 5.5

Luego, dado que el doble de la Elongación Media del Sol y de la Luna es de 90;30º, según la teoría ya establecida

^ AEB = 90;30º donde 4 ángulos rectos = 360º
^ AEB = 181ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº.

Entonces, si prolongamos BE y eliminamos la perpendicular DK hacia ella desde D,

^ DEK = 179ºº (suplementario).

Por lo tanto en el círculo alrededor del triángulo rectángulo DEK [inscripto] en el círculo

Arco DK = 179º
y Arco EK = 1º (suplementario).

Por lo tanto las cuerdas correspondientes

DK = 119;59p donde la hipotenusa DE = 120p.
y EK = 1;3p donde la hipotenusa DE = 120p.

Por lo tanto, DE [que es] la distancia entre los centros, es de 10;19p y BD, el radio de la Excéntrica, de 49;41p,

DK ≈ 10;19p
y EK = 0;5p.
Ahora, de BK² = BD² – DK²,
BK = 48;36p,
y, por sustracción [de EK] en EB = 48;31p.

Además, dado que la distancia de la Posición Media de la Luna desde la Posición Verdadera del Sol fue hallada ser de 46;40º, y la distancia de la Luna verdadera [desde el Sol verdadero fue observada de] 48;6º, la Ecuación de la Anomalía es de +1;26º.

Entonces, sea la posición de la Luna en H (ya que ésta está cerca del Apogeo del Epiciclo). Unir EH, BH, y eliminar la perpendicular BL, de B hasta EH.

Entonces dado que

^ BEL = 1;26º donde 4 ángulos rectos = 360º
^ BEL = 2;52ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº,

En el círculo alrededor del triángulo rectángulo BEL,

Arco BL = 2;52º
y BL = 2;59º donde la hipotenusa EB = 120p.
Por lo tanto donde EB = 48;31p
y BH, el radio del Epiciclo, es de 5;15p,
BL = 1;12p.

Entonces en el círculo alrededor del triángulo rectángulo BHL,

BL = 27;34p donde la hipotenusa BH = 120p, [7]
y Arco BL = 26;34º.
en consecuencia ^ BHL = 26;34ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº,
y, por adición [de ^ BEL = 2;52ºº],
^ ZBH = 29;26ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº.
^ ZBH = 14;43º donde 4 ángulos rectos = 360º.

Estos [14;43º] es el tamaño del arco HZ del Epiciclo, que comprende la distancia desde la Luna hasta el Apogeo Verdadero.

Pero, dado que la distancia [de la Luna] desde el Apogeo Medio en el instante de la observación fue de 333;12º, [y] si colocamos el Apogeo Medio en M, dibujamos la línea MBN, y eliminamos la perpendicular EX hacia ella desde E, entonces

Arco HZM = 26;48º (por sustracción [de 333;12º] desde el círculo),
y, por sustracción [del arco HZ = 14;43º], arco ZM = 12;5º.
en consecuencia ^ MBZ = ^ EBX = 12;5º donde 4 ángulos rectos = 360º
en consecuencia ^ MBZ = ^ EBX = 24;10ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº.

Por lo tanto, el círculo alrededor del triángulo rectángulo BEX

Arco EX = 24;10º
y EX = 25;7p donde la hipotenusa BE = 120p.

Por lo tanto, donde BE = 48;31p y DE, la línea entre los centros, es de 10;19p,

EX = 10;8p.
Nuevamente, dado que ^ AEB es dado como de 181ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº,
y hemos demostrado que ^ EBN = 24;10ºº,
por sustracción, ^ ENB = 156;50ºº en las mismas unidades,

y, en el círculo alrededor del triángulo rectángulo ENX,

Arco EX = 156;50º
y EX = 117;33p donde la hipotenusa EN = 120p.
Por lo tanto, donde EX = 10;8p
y DE, la línea entre los centros, es de 10;19p,
EN = 10;20p.

Entonces, según éste cálculo, también gira aquel [radio del Epiciclo] MB a través de M, el Apogeo Medio, apuntando en dirección tal que, cuando se prolonga hasta N, éste [punto] corta una línea EN aproximadamente igual a DE, la distancia entre los centros.

Hallamos aproximadamente también que la misma proporción resulta del cálculo desde un número de otras observaciones. Por lo tanto, éstas observaciones confirman la característica peculiar de la dirección del Epiciclo en la Hipótesis de la Luna: la revolución [uniforme] del centro del Epiciclo toma lugar alrededor del [punto] E, el centro de la Eclíptica, pero el diámetro del Epiciclo que define el punto inalterado del Epiciclo en el que se ubica el Apogeo Medio Epicíclico apuntando, no (como lo hace para los otros [planetas]), [o sea] hacia E, [que es] el centro del Movimiento Medio, sino siempre [apuntando] hacia N, el cual gira en dirección opuesta [desde E hasta D] por una cantidad igual a DE, [siendo] la distancia entre los centros.

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Notas de referencia[editar]

  1. Ver HAMA 88-91, Pedersen 189-95.
  2. , utilizado por Neugebauer y Pedersen como un término técnico (“prosneusis”) como elemento de la teoría lunar de Ptolomeo. No obstante, difícilmente Ptolomeo aplique tal palabra en muchos otros contextos (ver el Libro I Capítulo 7 nota de referencia nro. 2).
  3. Se asume generalmente que por éste [instrumento] se lo describe como una Esfera Armilar similar a la descrita por Ptolomeo en el Libro V Capítulo 1 (y a menudo, que Hiparco fue el inventor de tal instrumento). Esto puede ser cierto, pero aquí la vaga expresión sin duda no lo requiere, y [también] si los datos descritos a continuación lo hacen dudoso. Considero posible que Hiparco utilizó una Dioptra del tipo descripto por Herón de Alejandría (“Dioptra”, ed. Schone, 187 ff.).
    Datos calculados con un programa de computación desde las observaciones realizadas por Hiparco (actual Rodas) de las siguientes:
    Posiciones del Sol y de la Luna (Coordenadas Eclípticas, Latitud Sol: 0°)
    Fecha Hora Longitud Sol Longitud Luna Latitud Luna Elongación Luna Carta
    2 de Mayo de 127 a. C. (-127) 06:20:00 hs. Taurus 37° 36’ 36” Pisces 351° 06’ 11” 2° 29’ 53” W 46° 33’ 16”
    Almagesto Observación  02.05.127 a. C.

    Hora de la salida del Sol: 05:14:58 hs.
    Hora de la salida de la Luna: 03:03:49 hs. (25,37 días hacia Nueva).
    Elongación de la Luna: 360° - 46° 33’ 16” = 313° 26' 44".

    Nota del traductor al español: carta y datos elaborados con mi software de aplicación "M1 Sistema Astronómico".

  4. Ver HAMA 92 sobre la corrección de la Paralaje realizada aquí por Hiparco (que es verdaderamente precisa).
  5. Para la verificación de esto ver HAMA 92.
    Datos calculados con un programa de computación desde las observaciones realizadas por Hiparco (actual Rodas) de las siguientes:
    Posiciones del Sol y de la Luna (Coordenadas Eclípticas, Latitud Sol: 0°)
    Fecha Hora Longitud Sol Longitud Luna Latitud Luna Elongación Luna Carta
    7 de Julio de 127 a. C. (-127) 15:20:00 hs. Cancer 100° 54’ 09” Virgo 149° 18’ 55” -3° 36’ 29” E 48° 31’ 03”
    Almagesto Observación  07.07.127 a. C.

    Hora de la salida del Sol: 04:48:50 hs.
    Hora del paso del Sol: 12:06:49 hs. (culminación superior en Rodas)
    Hora de la salida de la Luna: 08:40:56 hs.

    Nota del traductor al español: carta y datos elaborados con mi software de aplicación "M1 Sistema Astronómico".

  6. Para 620 años 286 días 3 ⅔ horas yo [Toomer] encuentro: seg. Luna = 147;7º, seg. Luna = 331;1º. Dado que las diferencias desde las posiciones de Ptolomeo representan el movimiento lunar cerca de 20 minutos, es obvio que él ha calculado cuidadosamente las posiciones 4 horas después del mediodía, por ej. sin hacer la corrección para la Ecuación de Tiempo, que [Ptolomeo] la ha dado correctamente por alrededor de 20 minutos. Este error tiene un efecto no despreciable sobre el resultado final, que no estaría de acuerdo casi tan bien si el cálculo se llevó a cabo con las figuras anteriores.
  7. 1;12 * 120 / 5;15 = 27;25,43. Ptolomeo operaba obviamente, no con el valor 1;12, sino con 1;12,22 (lo que le dá 27;34,5), que de hecho es lo que uno encuentra en el cálculo inmediatamente anterior, 2;59 * 48;31 / 120.