Almagesto: Libro V - Capítulo 05

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{Sobre la “dirección” del Epiciclo de la Luna}

[1]

En lo que concierne al fenómeno en las Sizigias y en las posiciones en la Cuadratura de la Luna, la discusión precedente podría proporcionar una completa explicación de las hipótesis aclarando los círculos de la Luna descritos anteriormente. Aunque desde las observaciones individuales tomadas en las distancias de la Luna [desde el Sol] cuando ésta tiene la forma de una hoz o “Gibosa” (que ocurre mientras el epiciclo está entre el apogeo y el perigeo de la excéntrica), hallamos que la Luna tiene una característica peculiar asociada con la dirección [2] [con] la cual el epiciclo apunta [(se dirige)]. En general, cada epiciclo debe, poseer un simple, punto inmutable definiendo la posición de una vuelta de revolución sobre tal epiciclo. Llamamos a ese punto el “apogeo medio”, y lo establecemos como principio desde el cuál contamos el movimiento sobre el epiciclo. Por lo tanto el punto Z sobre la figura [del capítulo] anterior (Fig 5.3.) es tal punto. Es definido por la posición del epiciclo en el apogeo o en el perigeo de su excéntrica, por la línea recta dibujada a través de todos los centros [de la eclíptica, de la excéntrica y del epiciclo] (aquí DEG). Ahora en todas las otras hipótesis [involucrando el epiciclo sobre la excéntrica], absolutamente nada observamos en el fenómeno que podría considerarse contrario al siguiente [modelo]: en otras posiciones del epiciclo [fuera del apogeo o del perigeo de la excéntrica], el diámetro del epiciclo a través del apogeo de arriba, por ej. ZGH, siempre mantiene la misma posición relativa a la línea recta que transporta el centro del epiciclo alrededor de un movimiento uniforme (aquí EG), y [por lo tanto] (como uno apropiadamente podría pensar) siempre apunta hacia el centro de revolución, en el cual, además, ángulos iguales [generados por un] Movimiento Uniforme son atravesados en tiempos iguales. Sin embargo, en el caso de la Luna, el fenómeno no le permite a uno suponer que, para las posiciones del epiciclo entre A y G, el diámetro ZH apunta hacia E, el centro de revolución, y mantiene la misma posición respecto a EG. De hecho, encontramos que la dirección en la cual [el diámetro ZH] apunta es un punto único, inmutable sobre el diámetro AG, aunque éste punto no está tanto en E, el centro de la eclíptica, ni [tampoco] en D, el centro de la excéntrica, sino que [está] en un punto desplazado desde E hasta el perigeo de la excéntrica por una cantidad igual a DE. Nuevamente demostraremos que esto es así, mediante el establecimiento de dos entre numerosas observaciones [relevantes], que son particularmente adecuadas para ilustrar nuestro objetivo, ya que el epiciclo en éstas observaciones se encontraban a mitad de camino de distancias [entre el apogeo y perigeo de la excéntrica], y la Luna [estaba] cerca del apogeo o perigeo del epiciclo; dado que en estas situaciones ocurren los mayores efectos de la dirección [del diámetro del epiciclo] arriba [descrita].

[Primero]. Ahora Hiparco registra que observó el Sol y la Luna con sus instrumentos [3] en Rodas en el 197 mo. año desde la muerte de Alejandro Magno, el 11 de Pharmouthi [VIII] en el calendario Egipcio [2 de Mayo de –126], en el inicio de la segunda hora. Dice que mientras el Sol fue avistado en Taurus 7 ¾º, la posición aparente del centro de la Luna estuvo en Pisces 21 ⅔º, y su verdadera posición en Pisces 21 ⅓ + ⅛º [21;27 ½º] [4]. Por lo tanto en el momento en cuestión la distancia de la Posición Verdadera de la Luna desde Posición Verdadera del Sol fue alrededor de 313;42º, [contando] hacia la parte trasera [de los signos]. Ahora la observación fue realizada en el inicio de la segunda hora, alrededor de 5 horas de estación (que en Rodas corresponden cerca de 5 ⅔ horas equinocciales para esa fecha) antes del mediodía en el 11 er. [día de Pharmouthi]. Entonces el período de tiempo desde nuestra época [(el primer año de la era de Nabonassar)] hasta [el día] de la observación hay

620 años Egipcios 219 días 18 ⅓ horas equinocciales recontadas simplemente
620 años Egipcios 219 días 18 horas equinocciales recontadas en forma precisa.

Para este instante encontramos:

la posición media del Sol en Taurus 6;41º
la posición verdadera del Sol en Taurus 7;45º
la posición media de la Luna en Pisces 22;13º en longitud
la posición media de la Luna en 185;30º desde el apogeo medio del epiciclo en anomalía.

Por lo tanto la distancia de la posición media de la Luna desde posición verdadera del Sol fue de 314;28º.

Con estos datos, sea ABG [Fig. 5.4.] el círculo excéntrico de la Luna con centro en D y diámetro ADG, sobre el cual E representa el centro de la eclíptica. En el centro en B dibujar ZHΘ, el epiciclo de la Luna. Sea desde B hasta A el sentido hacia atrás del movimiento del epiciclo, y el sentido del movimiento de la Luna sobre el epiciclo desde Z hasta H y [luego hasta] Θ. Unir DB y EΘBZ.

Fig. 5.4
Fig. 5.4

Ahora en un mes [sinódico] medio ocurren dos revoluciones del epiciclo sobre la excéntrica, y en la situación en cuestión, la elongación de la posición media de la Luna desde la posición media del Sol fue de 315;32º. Entonces si duplicamos lo último y le sustraemos los [360º de] un círculo, tendremos la elongación del epiciclo en aquel momento, desde el apogeo de la excéntrica, [contando] hacia atrás: siendo [igual a] 271;4º.

En consecuencia ^ AEB = 88;56º (remanentes [cuando 271;4º son sustraídos] de 360º).

Entonces eliminamos la perpendicular DK desde D hasta EB.

En consecuencia ^ DEB = 88;56º donde 4 ángulos rectos = 360º
en consecuencia ^ DEB = 177;52ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº.

Por lo tanto en el círculo alrededor del triángulo rectángulo DEK,

arco DK = 177;52º
y arco EK = 2;8º (suplementario).

Por lo tanto las correspondientes cuerdas

DK = 119;59p donde la hipotenusa DE = 120p.
y EK = 2;14p donde la hipotenusa DE = 120p.

Por lo tanto donde DE, la distancia entre los centros, es de 10;19p y DB, el radio de la excéntrica, es de 49;41p,

DK ≈ 10;19p también,
y EK = 0;12p. Pero BK² = DB² – DK².
En consecuencia BK = 48;36p en las mismas unidades,

y, por adición, BE [= BK + EK] = 48;48p.

Nuevamente, dado que la distancia de la posición media de la Luna desde la posición verdadera del Sol fue hallada ser de 314;28º, y la distancia de la posición verdadera de la Luna [desde la posición verdadera del Sol] fue observada de 313;42º, la Ecuación de la Anomalía es de –0;46º.

Ahora, la posición media de la Luna es vista a lo largo de la línea EB. Entonces, sea localizada la Luna en H (dado que esta cerca del perigeo), unir EH y BH, y eliminar la perpendicular BL desde B hasta [la línea] prolongada EH. Entonces, dado que el ^ BEL contiene la ecuación de la anomalía de la Luna,

^ BEL = 0;46º donde 4 ángulos rectos = 360º
^ BEL = 1;32ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº.

Por lo tanto, en el círculo alrededor del triángulo rectángulo EBL,

arco BL = 1;32º
y la correspondiente cuerda
BL = 1;36p donde la hipotenusa EB = 120p.
Por lo tanto, donde BE = 48;48p y BH, el radio del epiciclo, es de 5;15p,
BL = 0;39p.

Por lo tanto donde BH, el radio del epiciclo, es de 120p,

BL = 14;52p

y, en el círculo alrededor del triángulo rectángulo BHL,

arco BL = 14;14º
en consecuencia ^ BHL = 14;14ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº,
y, por sustracción [del ^ BEL], ^ EBH = 12;42ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº,
y, por sustracción [del ^ BEL], ^ EBH = 6;21º donde 4 ángulos rectos = 360º.

Entonces, estos [6;21º], es el tamaño del arco HΘ del epiciclo, que comprende la distancia desde la posición de la Luna hasta el Perigeo Verdadero [del Epiciclo].

Pero dado que la distancia de la posición de la Luna desde el apogeo medio en la hora (instante) de la observación fue de 185;30º [Fig. 5.4], es claro que el perigeo medio está adelante de la Luna, por ej. del punto H. Sea el punto M [el perigeo medio], dibujar la línea BMN, y eliminar la perpendicular EX hasta ella desde el punto E.

En consecuencia, como fue observado,

arco ΘH = 6;21º,

y el arco HM, [que es] la distancia desde el perigeo, es dado como de 5;30º,

por adición, arco ΘM = 11;51º.
Entonces ^ EBX = 11;51º donde 4 ángulos rectos = 360º
entonces ^ EBX = 23;42ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº.

Por lo tanto, en el círculo alrededor del triángulo rectángulo BEX,

arco EX = 23;42º
y EX = 24;39p donde la hipotenusa BE = 120p.
Por lo tanto donde BE = 48;48
EX = 10;2p.

Nuevamente [Fig. 5.4], dado que

^ AEB = 177;52ºº donde 2 ángulos rectos = 360º,
y ^ EBN = 23;42ºº donde 2 ángulos rectos = 360º,
por sustracción, ^ ENB = 154;10ºº.

Por lo tanto, en el círculo alrededor del triángulo rectángulo ENX,

arco EX = 154;10º
y EX = 116;58p donde la hipotenusa EN = 120p.
Por lo tanto donde EX = 10;2p y DE, la distancia entre los centros, es de 10;19p,
EN = 10;18p.

Por lo tanto [el radio del epiciclo] BM a través del perigeo medio, apunta en una dirección tal que, cuando se prolonga hasta N, este corta una línea EN que es muy casi igual a DE.

[Segundo]. Similarmente, con el fin de demostrar esto tomamos el mismo resultado sobre los lados opuestos de la excéntrica y del epiciclo, nuevamente hemos seleccionado desde las distancias [entre las posiciones del Sol y de la Luna] observadas por Hiparco, como ya mencionamos, en Rodas, la observación que [él] hizo en el mismo año [como el de la observación precedente], siendo el 197 mo. año desde la muerte de Alejandro Magno, 17 de Payni [X] en el calendario Egipcio [7 de Julio de –126], a las 9 ⅓ horas. Dice que mientras el Sol fue visto en Cancer 10 9/10º la posición aparente de la Luna estuvo en Leo 29º. Y ésta fue su posición verdadera también; ya que en Rodas, cerca del final de Leo, alrededor de una hora pasado el meridiano [de Rodas], la Luna no tiene una paralaje longitudinal [5]. Por lo tanto la distancia de la posición verdadera de la Luna desde la posición verdadera del Sol en la hora (instante) en cuestión fue de 48;6º hacia atrás [con respecto de los signos]. Ahora, dado que la observación ocurrió 3 ⅓ de horas de estación después del mediodía en el 17 mo. [año] de Payni, que corresponden cerca de 4 horas equinocciales en esa misma fecha en Rodas, el período de tiempo desde nuestra época (desde el primer año de la era de Nabonassar) hasta [el día] de la observación hay

620 años Egipcios 286 días 4 horas equinocciales recontadas simplemente
620 años Egipcios 286 días 3 ⅔ horas equinocciales recontadas en forma precisa.

Para este momento encontramos:

la posición media del Sol en Cancer 12;5º
la posición verdadera del Sol en Cancer 10;40º
la posición media de la Luna en Leo 27;20º en longitud

(por lo tanto la distancia de la posición media de la Luna desde la posición verdadera del Sol fue de 46;40º) la posición media en anomalía de la Luna en los 333;12º [contada] desde el apogeo del epiciclo [6].

Con estos datos, [Fig. 5.5.] sea ABG el círculo excéntrico de la Luna con centro en D y de diámetro ADG, en el cual el centro del epiciclo está representado por el punto E. Alrededor del punto B dibujar ZHΘ, el epiciclo de la Luna, y unir DB [con] EΘBZ.

Fig. 5.5
Fig. 5.5

Luego, dado que el doble de la elongación media del Sol y de la Luna es de 90;30º, desde la teoría ya establecida

^ AEB = 90;30º donde 4 ángulos rectos = 360º
^ AEB = 181ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº.

Entonces, si prolongamos BE y eliminamos la perpendicular DK hasta ella desde D,

^ DEK = 179ºº (suplementario).

Por lo tanto en el círculo alrededor del triángulo rectángulo DEK [inscripto] en el círculo

arco DK = 179º
y arco EK = 1º (suplementario).

Por lo tanto las cuerdas correspondientes

DK = 119;59p donde la hipotenusa DE = 120p.
y EK = 1;3p donde la hipotenusa DE = 120p.

Por lo tanto donde DE, la distancia entre los centros, es de 10;19p y BD, el radio de la excéntrica, es de 49;41p,

DK ≈ 10;19p
y EK = 0;5p.
Ahora, dado que BK² = BD² – DK²,
BK = 48;36p,

y, por sustracción [de EK] en EB = 48;31p.

Además, dado que la distancia de la posición media de la Luna desde la posición verdadera del Sol fue hallada ser de 46;40º, y la distancia desde la posición verdadera de la Luna [desde la posición verdadera del Sol fue observada de] 48;6º, la ecuación de la anomalía es de +1;26º.

Entonces, sea H la posición de la Luna (ya que está cerca del apogeo del epiciclo). Unir EH, BH, y eliminar la perpendicular BL, de B hasta EH.

Entonces dado que

^ BEL = 1;26º donde 4 ángulos rectos = 360º
^ BEL = 2;52ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº,

En el círculo alrededor del triángulo rectángulo BEL,

arco BL = 2;52º
y BL = 2;59º donde la hipotenusa EB = 120p.
Por lo tanto donde EB = 48;31p y BH, el radio del epiciclo, es de 5;15p,
BL = 1;12p.

Entonces en el círculo alrededor del triángulo rectángulo BHL,

BL = 27;34p donde la hipotenusa BH = 120p, [7]
y arco BL = 26;34º.
En consecuencia ^ BHL = 26;34ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº,
y, por adición [del ^ BEL = 2;52ºº],
^ ZBH = 29;26ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº.
^ ZBH = 14;43º donde 4 ángulos rectos = 360º.

Estos [14;43º] es el tamaño del arco HZ del epiciclo, que comprende la distancia desde la posición de la Luna hasta el apogeo verdadero.

Pero dado que la distancia [de la posición de la Luna] desde el apogeo medio en la hora (instante) de la observación fue de 333;12º, [y] si colocamos el apogeo medio en M, dibujamos la línea MBN, y eliminamos la perpendicular EX hasta ella desde E, entonces

arco HZM = 26;48º (por sustracción [de 333;12º] desde el círculo [de 360º]),
y, por sustracción [del arco HZ = 14;43º], arco ZM = 12;5º.
En consecuencia ^ MBZ = ^ EBX = 12;5º donde 4 ángulos rectos = 360º
en consecuencia ^ MBZ = ^ EBX = 24;10ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº.

Por lo tanto, el círculo alrededor del triángulo rectángulo BEX

arco EX = 24;10º
y EX = 25;7p donde la hipotenusa BE = 120p.

Por lo tanto, donde BE = 48;31p y DE, la línea entre los centros, es de 10;19p,

EX = 10;8p.
Nuevamente, dado que ^ AEB es dado como de 181ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº,
y hemos demostrado que ^ EBN = 24;10ºº,
por sustracción, ^ ENB = 156;50ºº en las mismas unidades,

y, en el círculo alrededor del triángulo rectángulo ENX,

arco EX = 156;50º
y EX = 117;33p donde la hipotenusa EN = 120p.
Por lo tanto, donde EX = 10;8p y DE, la línea entre los centros, es de 10;19p,
EN = 10;20p.

Entonces, a partir de este cálculo también resulta que MB, [el radio del epiciclo] a través de M, el apogeo medio, apunta en una dirección tal que, cuando prolongada hasta N, este corta una línea EN aproximadamente igual a DE, la distancia entre los centros.

También aproximadamente hallamos que la misma proporción resulta por el cálculo desde un número de otras observaciones. Por lo tanto estas observaciones confirman la característica peculiar de la dirección del epiciclo en la Hipótesis de la Luna: la revolución [uniforme] del centro del epiciclo toma lugar alrededor del [punto] E, el centro de la eclíptica, pero el diámetro del epiciclo que define el punto inmutable del epiciclo en el que se ubica el apogeo medio epicíclico apunta, no (como lo hace para los otros [planetas]), [es decir] hacia E, el centro del movimiento medio, sino que siempre [apuntando] hacia N, que se desplaza en dirección opuesta [hasta D desde E] por una cantidad igual a DE, la distancia entre los centros.

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Notas de referencia

  1. Ver HAMA 88-91, Pedersen 189-95.
  2. , utilizado por Neugebauer y Pedersen como un término técnico “(prosneusis)” para este elemento de la teoría lunar de Ptolomeo. Sin embargo, difícilmente lo utilice Ptolomeo, ya que aplica la palabra en muchos otros contextos. (ver el Libro I Capítulo 7 nota de referencia nro. 2).
  3. Por lo general, se supone que esto se entiende como una Esfera Armilar, similar a la descrita por Ptolomeo en el Libro V Capítulo 1 (y a menudo, que Hiparco fue el inventor de tal instrumento). Esto puede ser cierto, aunque aquí la vaga expresión sin duda no lo requiere, y si los datos descritos a continuación lo hacen dudoso. Considero posible que Hiparco utilizó una Dioptra del tipo descrito por Herón de Alejandría (“Dioptra”, ed. Schöne, 187 ff.).
    Datos calculados con un programa de computación desde las observaciones realizadas por Hiparco (actual Rodas) de las siguientes:
    Posiciones del Sol y de la Luna (Coordenadas Eclípticas, Latitud Sol: 0°)
    Fecha Hora Longitud Sol Longitud Luna Latitud Luna Elongación Luna Carta
    2 de Mayo de 127 a. C. (-127) 06:20:00 hs. Taurus 37° 36’ 36” Pisces 351° 06’ 11” 2° 29’ 53” W 46° 33’ 16”
    Almagesto Observación 02.05.127 a. C.

    Hora de la salida del Sol: 05:14:58 hs.
    Hora de la salida de la Luna: 03:03:49 hs. (25,37 días hacia Nueva).
    Elongación de la Luna: 360° - 46° 33’ 16” = 313° 26' 44".

    Nota del traductor al español: carta y datos elaborados con mi software de aplicación "M1 Sistema Astronómico"©.

  4. Ver HAMA 92 sobre la corrección de la paralaje realizada aquí por Hiparco (que es verdaderamente precisa).
  5. Para la verificación de esto ver HAMA 92.
    Datos calculados con un programa de computación desde las observaciones realizadas por Hiparco (actual Rodas) de las siguientes:
    Posiciones del Sol y de la Luna (Coordenadas Eclípticas, Latitud Sol: 0°)
    Fecha Hora Longitud Sol Longitud Luna Latitud Luna Elongación Luna Carta
    7 de Julio de 127 a. C. (-127) 15:20:00 hs. Cancer 100° 54’ 09” Virgo 149° 18’ 55” -3° 36’ 29” E 48° 31’ 03”
    Almagesto Observación 07.07.127 a. C.

    Hora de la salida del Sol: 04:48:50 hs.
    Hora del paso del Sol: 12:06:49 hs. (culminación superior en Rodas)
    Hora de la salida de la Luna: 08:40:56 hs.

    Nota del traductor al español: carta y datos elaborados con mi software de aplicación "M1 Sistema Astronómico"©.

  6. Para 620 años 286 días 3 ⅔ horas yo [(Toomer)] encuentro: seg. Luna = 147;7º, seg. Luna = 331;1º. Dado que las diferencias desde las posiciones de Ptolomeo representan el movimiento lunar por cerca de 20 minutos, es obvio que él ha calculado cuidadosamente las posiciones 4 horas después del mediodía, por ej. sin hacer la corrección para la Ecuación de Tiempo, que [Ptolomeo] la ha dado correctamente por alrededor de 20 minutos. Este error tiene un efecto no despreciable en el resultado final, que no estaría de acuerdo tan claramente si el cálculo se llevara a cabo con las cifras anteriores.
  7. 1;12 * 120 / 5;15 = 27;25,43. Obviamente Ptolomeo estuvo operando, no con el valor 1;12, sino con 1;12,22 (lo que llega a 27;34,5), que de hecho es lo que uno encuentra en el cálculo inmediatamente anterior, 2;59 * 48;31 / 120.